Question

10．在平行四邊形ABCD中，E和F分別是邊CD和BC的中點，設(shè)$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow$．
（1）求向量$\overrightarrow{EF}$，$\overrightarrow{AE}$（用向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$表示）；
（2）若$\overrightarrow{AC}$=λ$\overrightarrow{AE}$+μ$\overrightarrow{AF}$（λ，μ∈R），求λ+μ的值．

Answer 1

分析 （1）$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AD}$+$\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{a}+\overrightarrow$.$\overrightarrow{AF}$=$\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}\overrightarrow$，$\overrightarrow{EF}$=$\overrightarrow{AF}-\overrightarrow{AE}$，由此能求出結(jié)果．
（2）$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$，從而得到$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$=$λ（\frac{1}{2}\overrightarrow{a}+\overrightarrow）+μ（\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}\overrightarrow）$，由此能求出λ+μ的值．

解答 解：（1）∵在平行四邊形ABCD中，E和F分別是邊CD和BC的中點，$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow$．
∴$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DE}$=$\overrightarrow{AD}$+$\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{a}+\overrightarrow$．
$\overrightarrow{AF}$=$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BF}$=$\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}\overrightarrow$，
$\overrightarrow{EF}$=$\overrightarrow{AF}-\overrightarrow{AE}$
=（$\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}\overrightarrow$）-（$\frac{1}{2}\overrightarrow{a}+\overrightarrow$）=$\frac{1}{2}\overrightarrow{a}-\frac{1}{2}\overrightarrow$．
（2）∵$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$，
$\overrightarrow{AC}$=λ$\overrightarrow{AE}$+μ$\overrightarrow{AF}$（λ，μ∈R），
∴$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$=$λ（\frac{1}{2}\overrightarrow{a}+\overrightarrow）+μ（\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}\overrightarrow）$
=$（\frac{1}{2}λ+μ）\overrightarrow{a}$+（$λ+\frac{1}{2}μ$）$\overrightarrow$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}λ+μ=1}\\{λ+\frac{1}{2}μ=1}\end{array}\right.$．解得$λ=μ=\frac{2}{3}$，
∴λ+μ=$\frac{4}{3}$．

點評 本題考查向量的求法，考查兩數(shù)和的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量的加法法則的合理運用．