Question

數列{a_n}的各項均為正數，S_n為其前n項和，對于任意的n∈N^*，總有a_n，S_n，a²_n成等差數列，又記b_n=

1

a2n+1•a2n+3

，數列{b_n}的前n項和T_n=（　�。�

• A、

  6n

  n+9

• B、

  n

  9n+6

• C、

  n

  6n+9

• D、

  n

  n+6

Answer 1

考點：數列的求和

專題：等差數列與等比數列

分析：由已知得2a_n=a_n-a_n-1+an2-an-12，即（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，由數列{a_n}的各項均為正數，得a_n-a_n-1=1，由此能求出a_n=n．
b_n=

1

(2n+1)(2n+3)

=

1

2

（

1

2n+1

-

1

2n+3

），由此利用裂項求和法求得數列{b_n}的前n項和T_n．

解答： 解：由已知得2S_n=a_n+a_n²，①
當n≥2時，2S_n-1=a_n-1+

a

2 n-1

，②
①-②，得2a_n=a_n-a_n-1+

a

2 n

-

a

2 n-1

，
即（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，
∵數列{a_n}的各項均為正數，
∴a_n-a_n-1=1，
又n=1時，2a₁=a₁+

a

2 1

，解得a₁=1，
∴{a_n}是首項為1，公差為1的等差數列，∴a_n=n．
∴b_n=

1

(2n+1)(2n+3)

=

1

2

（

1

2n+1

-

1

2n+3

），
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=

1

2

（

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

+…+

1

2n+1

-

1

2n+3

）．
=

1

2

（

1

3

-

1

2n+3

）=

n

3(2n+3)

=

n

6n+9

．
故選C．

點評：本題考查數列的通項公式的求法，考查數列的前n項和的求法，解題時要認真審題，注意裂項相消法的合理運用．