Question

12．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線(xiàn)C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$??（θ為參數(shù)）．以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線(xiàn)l的極坐標(biāo)方程為ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$
（1）寫(xiě)出曲線(xiàn)C的普通方程和直線(xiàn)l的直角坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)點(diǎn)Q是曲線(xiàn)C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求它到直線(xiàn)l的距離的最大值．

Answer 1

分析 （1）曲線(xiàn)C的參數(shù)方程消去參數(shù)θ，能求出曲線(xiàn)C的普通方程；直線(xiàn)l的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為ρsinθ+ρcosθ=2，從而能求出直線(xiàn)l的直角坐標(biāo)方程．
（2）設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（$\sqrt{3}cosθ，sinθ$），求出點(diǎn)Q到直線(xiàn)l的距離，利用三角函數(shù)性質(zhì)能求出點(diǎn)Q到直線(xiàn)l的距離的最大值．

解答 解：（1）∵曲線(xiàn)C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）．
∴消去參數(shù)θ，得曲線(xiàn)C的普通方程為$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1．
∵直線(xiàn)l的極坐標(biāo)方程為ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$
化簡(jiǎn)得ρsinθ+ρcosθ=2，
∴直線(xiàn)l的直角坐標(biāo)方程為x+y=2．
（2）∵點(diǎn)Q是曲線(xiàn)C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∴可設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（$\sqrt{3}cosθ，sinθ$），
∴點(diǎn)Q到直線(xiàn)l的距離：
d=$\frac{|\sqrt{3}cosθ+sinθ-2|}{\sqrt{2}}$
=$\frac{|2sin（θ+\frac{π}{3}）-2|}{\sqrt{2}}$，
當(dāng)sin（$θ+\frac{π}{3}$）=-1時(shí)，$b0j9oc5_{max}=2\sqrt{2}$．
∴點(diǎn)Q到直線(xiàn)l的距離的最大值為2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查曲線(xiàn)的普通方程和直線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程的求法，考查點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的最大值的求法，考查參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程、直角坐標(biāo)方程的互化等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．