Question

3．在平面直角坐標系xOy中，圓：x²+y²=4，直線l：4x+3y-20=0．A（$\frac{4}{5}$，$\frac{3}{5}$）為圓O內一點，弦MN過點A，過點O作MN的垂線交l于點P．
（1）若MN∥l．
       ①求直線MN的方程；
       ②求△PMN的面積．
（2）判斷直線PM與圓O的位置關系，并證明．

Answer 1

分析 （1）①求出直線MN的斜率k=k_AB=-$\frac{4}{3}$，由此能求出直線MN的方程．
②求出點O（0，0）到直線MN的距離d=1，從而MN=2$\sqrt{{r}^{2}-gpjybqi^{2}}$=2$\sqrt{3}$，點O到直線l的距離|OP|=4，P到MN的距離h=4-1=3，由此能求出△PMN的面積S_△PMN．
（2）設M（x₀，y₀），則直線MN的斜率k=$\frac{5{y}_{0}-3}{5{x}_{0}-4}$，直線OP的斜率為-$\frac{5{x}_{0}-4}{5{y}_{0}-3}$，直線OP的方程為y=-$\frac{5{x}_{0}-4}{5{y}_{0}-3}x$，聯立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{5{x}_{0}-4}{5{y}_{0}-3}x}\\{4x+3y-20=0}\end{array}\right.$，得點P（$\frac{4（5{y}_{0}-3）}{4{y}_{0}-3{x}_{0}}$，-$\frac{4（5{x}_{0}-4）}{4{y}_{0}-3{x}_{0}}$），求出$\overrightarrow{PM}$，$\overrightarrow{OM}$，推導出$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{OM}$=0，從而PM⊥OM，進而直線PM與圓O相切．

解答 解：（1）①∵圓：x²+y²=4，直線l：4x+3y-20=0．A（$\frac{4}{5}$，$\frac{3}{5}$）為圓O內一點，
弦MN過點A，MN∥l，
∴直線MN的斜率k=k_AB=-$\frac{4}{3}$，
∴直線MN的方程為：y-$\frac{3}{5}$=-$\frac{4}{3}$（x-$\frac{4}{5}$），
整理，得：4x+3y-5=0．
②點O（0，0）到直線MN的距離d=$\frac{|0+0-5|}{\sqrt{16+9}}$=1，
MN=2$\sqrt{{r}^{2}-vbewsha^{2}}$=2$\sqrt{4-1}$=2$\sqrt{3}$，
點O到直線l的距離|OP|=$\frac{|0+0-20|}{\sqrt{16+9}}$=4，
∴P到MN的距離h=4-1=3，
∴△PMN的面積S_△PMN=$\frac{1}{2}×MN×h$=$\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×3$=3$\sqrt{3}$．
（2）直線PM與圓O相切，證明如下：
設M（x₀，y₀），則直線MN的斜率k=$\frac{{y}_{0}-\frac{3}{5}}{{x}_{0}-\frac{4}{5}}$=$\frac{5{y}_{0}-3}{5{x}_{0}-4}$，
∵OP⊥MN，∴直線OP的斜率為-$\frac{5{x}_{0}-4}{5{y}_{0}-3}$，
∴直線OP的方程為y=-$\frac{5{x}_{0}-4}{5{y}_{0}-3}x$，
聯立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{5{x}_{0}-4}{5{y}_{0}-3}x}\\{4x+3y-20=0}\end{array}\right.$，解得點P的坐標為（$\frac{4（5{y}_{0}-3）}{4{y}_{0}-3{x}_{0}}$，-$\frac{4（5{x}_{0}-4）}{4{y}_{0}-3{x}_{0}}$），
∴$\overrightarrow{PM}$=（$\frac{4（5{y}_{0}-3）}{4{y}_{0}-3{x}_{0}}-{x}_{0}$，-$\frac{4（5{x}_{0}-4）}{4{y}_{0}-3{x}_{0}}-{y}_{0}$），
∵$\overrightarrow{OM}$=（x₀，y₀），${{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}=4$，
∴$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{OM}$=$\frac{4{x}_{0}（5{y}_{0}-3）}{4{y}_{0}-3{x}_{0}}-{{x}_{0}}^{2}-\frac{4{y}_{0}（5{x}_{0}-4）}{4{y}_{0}-3{x}_{0}}-{{y}_{0}}^{2}$
=$\frac{4{x}_{0}（5{y}_{0}-3）-4{y}_{0}（5{x}_{0}-4）}{4{y}_{0}-3{x}_{0}}$-4
=$\frac{-12{x}_{0}+16{y}_{0}}{4{y}_{0}-3{x}_{0}}-4$=0，
∴$\overrightarrow{PM}$⊥$\overrightarrow{OM}$，∴PM⊥OM．
∴直線PM與圓O相切．

點評 本題考查直線方程的求法，考查三角形面積的求法，考查直線與圓的位置關系的判斷與證明，考查圓、直線方程、點到直線距離公式、向量等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想，是中檔題．