Question

13．已知以原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為2ρsinθ+ρcosθ=10，曲線C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=3cosα}\\{y=2sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)）．
（1）求曲線C₁的普通方程；
（2）若點M在曲線C₁上運動，試求出M到曲線C的距離的最小值．

Answer 1

分析 （1）由cos²α+sin²α=1，能求出曲線C₁的普通方程．
（2）求出曲線C的直角坐標(biāo)方程為：x+2y-10=0，則M（3cosα，2sinα）到直線C的距離為d=$\frac{|5sin（α+β）-10|}{\sqrt{5}}$，由此能求出求出M到曲線C的距離的最小值．

解答 （本小題滿分10分）
解：（1）將 曲線C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=3cosα}\\{y=2sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)） 代入cos²α+sin²α=1中，
得曲線C₁的普通方程為$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{x}^{2}}{4}=1$．…（4分）
（2）∵曲線C的極坐標(biāo)方程為2ρsinθ+ρcosθ=10，
∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為：x+2y-10=0，
則M（3cosα，2sinα）到直線C的距離為：
d=$\frac{|3cosα+4sinα-10|}{\sqrt{5}}$=$\frac{|5sin（α+β）-10|}{\sqrt{5}}$，
∴當(dāng)$α+β=\frac{π}{2}+2kπ$（k∈Z）時，$84648d5_{min}=\frac{|5-10|}{\sqrt{5}}$=$\sqrt{5}$，
此時M（$\frac{9}{5}，\frac{8}{5}$）．…（10分）

點評 本題考查曲線的普通方程的求法，考查點到直線的距離的最小值的求法，考查直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程的互化等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．