分析 (1)依題意,由$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=-3n+3m+3=0,可得n-m=1①,再由三點A、B、C在一條直線上,$\overrightarrow{AB}$=k$\overrightarrow{AC}$,即(n+3,3-(m+1))=k(10,3-m),整理可得:$\frac{n+3}{10}$=$\frac{2-m}{3-m}$②,
聯(lián)立①②可求實數(shù)m、n的值;
(2)利用點A的縱坐標小于3,結合(1)的結果,可得m=1,n=2,于是$\overrightarrow{OA}$=(-3,2),又$\overrightarrow{OC}$=(7,4),利用平面向量的數(shù)量積可求cos∠AOC的值.
解答 解:(1)∵$\overrightarrow{OA}$=(-3,m+1),$\overrightarrow{OB}$=(n,3),且$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{OB}$,
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=-3n+3m+3=0,即n-m=1①,
又$\overrightarrow{OC}$=(7,4),∴$\overrightarrow{AC}$=(7-(-3),4-(m+1))=(10,3-m),
∵三點A、B、C在一條直線上,
∴$\overrightarrow{AB}$=k$\overrightarrow{AC}$,即(n+3,3-(m+1))=k(10,3-m),整理得:$\frac{n+3}{10}$=$\frac{2-m}{3-m}$②,
聯(lián)立①②,解得:$\left\{\begin{array}{l}{m=1}\\{n=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m=8}\\{n=9}\end{array}\right.$.
(2)∵點A的縱坐標小于3,
∴m+1<3,即m<2,∴m=1,n=2,
∴$\overrightarrow{OA}$=(-3,2),又$\overrightarrow{OC}$=(7,4),
∴cos∠AOC=$\frac{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OC}}{|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OC}|}$=$\frac{-3×7+2×4}{\sqrt{{(-3)}^{2}{+2}^{2}}•\sqrt{{7}^{2}{+4}^{2}}}$=$\frac{-13}{\sqrt{13}•\sqrt{65}}$=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$.
點評 本題考查平面向量數(shù)量積的運算,考查平面向量垂直、共線向量基本定理的應用,考查方程思想、化歸思想與運算求解能力,屬于中檔題.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | 函數(shù)f(x)的圖象關于直線x=1對稱 | B. | 函數(shù)f(x)的圖象關于點(1,0)對稱 | ||
C. | 函數(shù)f(x)有最小值,無最大值 | D. | 函數(shù)f(x)在(-∞,-1]上單調遞減 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | a7=b7 | B. | a7>b7或a7<b7 | C. | a7<b7 | D. | a7>b7 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | $50\sqrt{2}$m | B. | 50m | C. | $50\sqrt{3}$m | D. | $50\sqrt{6}$m |
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A. | [5,+∞) | B. | [2,+∞) | C. | [4,+∞) | D. | [2,4] |
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