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1.已知數(shù)列{an}滿足:a1=2a2=23an=2an1an+1an1+an+1nNn2
(1)求證:數(shù)列{1an}為等差數(shù)列;
(2)求數(shù)列{an2n+1}的前n項(xiàng)和Sn

分析 (Ⅰ)推導(dǎo)出1an1an1=1an+11annNn2,從而1an1an1=1a21a1=3212=1nNn2,由此能證明數(shù)列{1an}為等差數(shù)列,首項(xiàng)為1a1=12,公差為d=1.
(Ⅱ)由1an=12+n1×1=n12,得到an=1n12=22n1,從而an2n+1=22n12n+1=12n112n+1,由此能求出數(shù)列{an2n+1}的前n項(xiàng)和Sn

解答 (12分)
解:(Ⅰ)因?yàn)?{a_n}=\frac{{2{a_{n-1}}{a_{n+1}}}}{{{a_{n-1}}+{a_{n+1}}}}(n∈{N^*},n≥2)\frac{2}{a_n}=\frac{1}{{{a_{n-1}}}}+\frac{1}{{{a_{n+1}}}}(n∈{N^*},n≥2)\frac{1}{a_n}-\frac{1}{{{a_{n-1}}}}=\frac{1}{{{a_{n+1}}}}-\frac{1}{a_n}(n∈{N^*},n≥2)?yàn)?a1=2a2=23
所以1an1an1=1a21a1=3212=1nNn2
所以數(shù)列{1an}為等差數(shù)列,首項(xiàng)為1a1=12,公差為d=1.(6分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知:1an=12+n1×1=n12
所以an=1n12=22n1,
所以an2n+1=22n12n+1=12n112n+1
所以Sn=a13+a25++an2n+1=1113+1315++12n112n+1
=112n+1=2n2n+1.(12分)

點(diǎn)評 本題考查等差數(shù)列的證明,考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法,考查等差數(shù)列、裂項(xiàng)求和法等基礎(chǔ)知識,考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想,是中檔題.

練習(xí)冊系列答案
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(1)記平面ADM與平面PBC的交線是l,試判斷直線l與BC的位置關(guān)系,并加以證明.
(2)若PA=AB=1PB=2,求證PB⊥平面ADM,并求直線PC與平面ADM所成角的正弦值.

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12.如圖,設(shè)A,B兩點(diǎn)在涪江的兩岸,一測量者在A的同側(cè)所在的江岸邊選定一點(diǎn)C,
測出AC的距離為50m,∠ACB=45°,∠CAB=105°.則A,B兩點(diǎn)間的距離為(  )
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9.已知拋物線C:y2=4x焦點(diǎn)為F,點(diǎn)D為其準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn),過點(diǎn)F的直線l與拋物線相交于A,B兩點(diǎn),則△DAB的面積S的取值范圍為( �。�
A.[5,+∞)B.[2,+∞)C.[4,+∞)D.[2,4]

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16.若平面區(qū)域{x+y302xy30x2y+30夾在兩條斜率為23的平行直線之間,則這兩平行直線間的距離的最小值為( �。�
A.2B.21313C.51313D.513

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6.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式12+13+…+12n≤n(n∈N*)時,從n=k到n=k+1不等式左邊增添的項(xiàng)數(shù)是(  )
A.kB.2k-1C.2kD.2k+1

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13.下表是檢測某種濃度的農(nóng)藥隨時間x(秒)滲入某種水果表皮深度y(微米)的一組結(jié)果.
時間x(秒)510152030
深度y(微米)610101316
(1)在規(guī)定的坐標(biāo)系中,畫出 x,y 的散點(diǎn)圖;
(2)求y與x之間的回歸方程,并預(yù)測40秒時的深度(回歸方程精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位;預(yù)測結(jié)果精確到整數(shù)).
回歸方程:ˆy=bx+a,其中=ni=1xiyin¯x¯yni=1xi2n¯x2,a=¯y-b¯x

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13.已知以原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C的極坐標(biāo)方程為2ρsinθ+ρcosθ=10,曲線C1{x=3cosαy=2sinα(α為參數(shù)).
(1)求曲線C1的普通方程;
(2)若點(diǎn)M在曲線C1上運(yùn)動,試求出M到曲線C的距離的最小值.

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14.已知兩個具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),由這些數(shù)據(jù)得到的回歸直線l的方程為ˆy=ˆx+ˆa,若¯x=1nni=1xi,¯y=1nni=1yi,則下列各點(diǎn)中一定在l上的是( �。�
A.¯x¯yB.¯x,0)C.(0,¯yD.(0,0)

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