分析 (Ⅰ)推導(dǎo)出1an−1an−1=1an+1−1an(n∈N∗,n≥2),從而1an−1an−1=1a2−1a1=32−12=1(n∈N∗,n≥2),由此能證明數(shù)列{1an}為等差數(shù)列,首項(xiàng)為1a1=12,公差為d=1.
(Ⅱ)由1an=12+(n−1)×1=n−12,得到an=1n−12=22n−1,從而an2n+1=2(2n−1)(2n+1)=12n−1−12n+1,由此能求出數(shù)列{an2n+1}的前n項(xiàng)和Sn.
解答 (12分)
解:(Ⅰ)因?yàn)?{a_n}=\frac{{2{a_{n-1}}{a_{n+1}}}}{{{a_{n-1}}+{a_{n+1}}}}(n∈{N^*},n≥2),所以\frac{2}{a_n}=\frac{1}{{{a_{n-1}}}}+\frac{1}{{{a_{n+1}}}}(n∈{N^*},n≥2),即:\frac{1}{a_n}-\frac{1}{{{a_{n-1}}}}=\frac{1}{{{a_{n+1}}}}-\frac{1}{a_n}(n∈{N^*},n≥2),又因?yàn)?a1=2,a2=23,
所以1an−1an−1=1a2−1a1=32−12=1(n∈N∗,n≥2)
所以數(shù)列{1an}為等差數(shù)列,首項(xiàng)為1a1=12,公差為d=1.(6分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知:1an=12+(n−1)×1=n−12,
所以an=1n−12=22n−1,
所以an2n+1=2(2n−1)(2n+1)=12n−1−12n+1,
所以Sn=a13+a25+…+an2n+1=(11−13)+(13−15)+…+(12n−1−12n+1)
=1−12n+1=2n2n+1.(12分)
點(diǎn)評 本題考查等差數(shù)列的證明,考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法,考查等差數(shù)列、裂項(xiàng)求和法等基礎(chǔ)知識,考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想,是中檔題.
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A. | 50√2m | B. | 50m | C. | 50√3m | D. | 50√6m |
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A. | [5,+∞) | B. | [2,+∞) | C. | [4,+∞) | D. | [2,4] |
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A. | √2 | B. | 2√1313 | C. | 5√1313 | D. | 5√13 |
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A. | k | B. | 2k-1 | C. | 2k | D. | 2k+1 |
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時間x(秒) | 5 | 10 | 15 | 20 | 30 |
深度y(微米) | 6 | 10 | 10 | 13 | 16 |
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A. | (¯x,¯y) | B. | (¯x,0) | C. | (0,¯y) | D. | (0,0) |
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