Question

13．已知函數(shù)f（x）=ax-lnx-1．
（1）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）求證：$ln（n+2）＜1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n+1}\;（n∈{N^*}）$．

Answer 1

分析 （1）由題意可得$f'（x）=a-\frac{1}{x}≥0$在區(qū)間[1，+∞）上恒成立，所以a≥（$\frac{1}{x}$）_max，由單調(diào)性可得最大值，即可得到a的范圍；
（2）取a=1，由（1）有f（x）在區(qū)間[1，+∞）上遞增，可得當(dāng)x＞1時，f（x）＞f（1）=0即lnx＜x-1，因?yàn)?1+\frac{1}{n}＞1（n∈{N^*}）$，所以$ln（1+\frac{1}{n}）＜1+\frac{1}{n}-1=\frac{1}{n}$，即$ln\frac{n+1}{n}＜\frac{1}{n}$，運(yùn)用累加法，以及對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可得證．

解答 解：函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）．
（1）由題意可得$f'（x）=a-\frac{1}{x}≥0$在區(qū)間[1，+∞）上恒成立，
所以a≥（$\frac{1}{x}$）_max，又y=$\frac{1}{x}$在區(qū)間[1，+∞）上遞減，
所以（$\frac{1}{x}$）_max=1，
即實(shí)數(shù)a的取值范圍為[1，+∞）．
（2）證明：取a=1，由（1）有f（x）在區(qū)間[1，+∞）上遞增，
所以，當(dāng)x＞1時，f（x）＞f（1）=0即lnx＜x-1，
因?yàn)?1+\frac{1}{n}＞1（n∈{N^*}）$，
所以$ln（1+\frac{1}{n}）＜1+\frac{1}{n}-1=\frac{1}{n}$，即$ln\frac{n+1}{n}＜\frac{1}{n}$，
所以：$ln\frac{1+1}{1}＜1$，$ln\frac{2+1}{2}＜\frac{1}{2}$，
ln$\frac{3+1}{3}$＜$\frac{1}{3}$，…，$ln\frac{n+1}{n}＜\frac{1}{n}$，ln$\frac{n+1+1}{n+1}$＜$\frac{1}{n+1}$，
所以：$ln\frac{1+1}{1}+ln\frac{2+1}{2}+ln\frac{3+1}{3}+…+ln\frac{n+1}{n}+ln\frac{n+1+1}{n+1}＜1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}$，
ln2-ln1+ln3-ln2+…+ln（n+1）-lnn+ln（n+2）-ln（n+1）＜1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$，
即$ln（n+2）＜1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n+1}\;（n∈{N^*}）$，得證．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)性，注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，以及參數(shù)分離，考查不等式的證明，注意運(yùn)用已知不等式，以及累加法和對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．