Question

18．已知數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=2a_n，且${a_3}-{a_1}=2\sqrt{3}$，則$\frac{1}{a_1^2}+\frac{1}{a_2^2}+…+\frac{1}{a_n^2}$=（　�。�

• A． $1-\frac{1}{4^n}$
• B． $\frac{1}{4}（{4^n}-1）$
• C． $\frac{3}{2}（1-\frac{1}{2^n}）$
• D． $\frac{1}{16}（1-\frac{1}{4^n}）$

Answer 1

分析 由題意可得數(shù)列{a_n}為公比q為2的等比數(shù)列，運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得首項(xiàng)，由等比數(shù)列的求和公式，即可得到所求和．

解答 解：數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=2a_n，且${a_3}-{a_1}=2\sqrt{3}$，
可得數(shù)列{a_n}為公比q為2的等比數(shù)列，
可得a₁q²-a₁=2$\sqrt{3}$，解得a₁=$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$，
則$\frac{1}{a_1^2}+\frac{1}{a_2^2}+…+\frac{1}{a_n^2}$
=$\frac{\frac{1}{{{a}_{1}}^{2}}（1-\frac{1}{{q}^{2n}}）}{1-\frac{1}{{q}^{2}}}$=$\frac{\frac{3}{4}（1-\frac{1}{{4}^{n}}）}{1-\frac{1}{4}}$=1-$\frac{1}{{4}^{n}}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列的定義和求和公式的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．