證法一:>
=
,只要證
>b-b2,
∵b>0,∴只要證 >1-b,
即1>1-b2,即b2>0.
由題意,b2>0成立,因此原不等式成立.
證法二:要證b-b2<,只要證(b-b2)(a+1)<1,
①若b≥1,則有b-b2≤0,
故(b-b2)(a+1)≤0<1成立;
②若0<b<1,由0<a<得0<ab<1,
(b-b2)(a+1)=ab(1-b)+b-b2<(1-b)+b-b2=1-b2<1.
綜上,(b-b2)(a+1)<1成立,因此原不等式也成立.
證法三:(構(gòu)造一次函數(shù)求解)由條件0<a<,即a∈(0,
),若將a視為未知數(shù),用x代替,
即證x∈(0,)時(shí),(b-b2)(x+1)<1,即證(b-b2)(x+1)-1<0.
設(shè)f(x)=(b-b2)(x+1)-1=(b-b2)x+(b-b2)-1,即證x∈(0,)時(shí),f(x)<0.
而f(x)為x的一次函數(shù),且f(0)=(b-b2)-1=-(b2-b+1)<0,f()=-b2<0,
因此當(dāng)x∈(0,)時(shí),f(x)<0成立,
從而原不等式成立.
證法四:(構(gòu)造二次函數(shù))由0<a<得0<b<
,故還可將b看作未知數(shù),通過構(gòu)造二次函數(shù)來證明.
設(shè)g(x)=x2-x+,0<x<
,對稱軸為x=
,
①當(dāng)≤
,即a≥2時(shí),g(x)在(0,
)上是減函數(shù),
∴x∈(0,)時(shí),g(x)>g(
)=
-
+
=
>0;
②當(dāng)>
,即0<a<2時(shí),
∴x∈(0,)時(shí),g(x)>g(
)=
-
>0.
綜合①②知,x∈(0,)時(shí),x2-x+
>0恒成立,
即x-x2<,因此原不等式成立.
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