Question

【題目】數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一條直線上，后人稱這條直線為歐拉線．已知△ABC的頂點(diǎn)A(2，0)，B(0，4)，若其歐拉線的方程為x－y＋2＝0，則頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為

A. (－4，0) B. (－3，-1) C. (－5，0) D. (－4，-2)

Answer 1

【答案】A

【解析】

設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為C(m，n)，由重心公式得到關(guān)于m,n的方程，然后利用外心與點(diǎn)B的距離與外心與點(diǎn)C的距離相等得到關(guān)于m,n的方程，兩方程聯(lián)立即可確定頂點(diǎn)C的坐標(biāo).

設(shè)C(m，n)，由重心公式，可得△ABC的重心為，

代入歐拉直線有：，

整理得m－n＋4＝0　①.

AB的中點(diǎn)為(1，2)，kAB＝＝－2，

AB的中垂線方程為y－2＝(x－1)，即x－2y＋3＝0，

聯(lián)立可得：，所以△ABC的外心為(－1，1)，

外心與點(diǎn)B的距離：，

外心與點(diǎn)B的距離與外心與點(diǎn)C的距離相等，則：

(m＋1)2＋(n－1)2＝10，整理得m2＋n2＋2m－2n＝8　②，

聯(lián)立①②，可得m＝－4，n＝0或m＝0，n＝4.

當(dāng)m＝0，n＝4時(shí)，B，C兩點(diǎn)重合，舍去，

當(dāng)m＝－4，n＝0時(shí)滿足題意.

所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為(－4，0)．

本題選擇A選項(xiàng).