Question

13．設命題p：函數(shù)f（x）=lg[（a²-1）x²+（a+1）x+1]的值域為R；命題q：函數(shù)y=$\frac{|{x}^{2}-1|}{x-1}$的圖象與函數(shù)y=ax-2的圖象恰有兩個交點；如果命題“p∨q”為真命題，且“p∧q”為假命題，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 考慮p真，討論a=1與當a²-1＞0時△≥0，解不等式求并集；q真時，討論x＞1，x=0和0＜x＜1，x＜0函數(shù)圖象的關系和轉化為方程，求得a的范圍，再由題意可得p，q中一真一假，解不等式即可到所求范圍．

解答 解：命題p：函數(shù)f（x）=lg[（a²-1）x²+（a+1）x+1]的值域為R，
p真時①當a=1時f（x）=lg（2x+1）值域為R，符合．
②當a²-1＞0時△≥0，即（a+1）²-4（a²-1）≥0，
解得1≤a≤$\frac{5}{3}$，
命題q：函數(shù)y=$\frac{|{x}^{2}-1|}{x-1}$的圖象與函數(shù)y=ax-2的圖象恰有兩個交點，
q真時，x＞1時，y=x+1與函數(shù)y=ax-2的圖象有一個交點，
可得a=1+$\frac{3}{x}$＜4，即有0＜a＜4且a≠1；
x=0時函數(shù)y=-1，不成立，
當0＜x＜1時，y=-x-1與函數(shù)y=ax-2的圖象有一個交點，
可得a=-1+$\frac{1}{x}$，即有a＞0；
當x＜0時，y=-x-1與函數(shù)y=ax-2的圖象有一個交點，
可得a=-1+$\frac{1}{x}$，即有a＜-1．
則q真時，0＜a＜1或1＜a＜4．
依命題“p∨q”為真命題，且“p∧q”為假命題，
可得p，q一真一假，
當p真q假時，$\left\{\begin{array}{l}{1≤a≤\frac{5}{3}}\\{a≥4或a≤0或a=1}\end{array}\right.$，
得a=1；
當p假q真時，$\left\{\begin{array}{l}{a＞\frac{5}{3}或a＜1}\\{0＜a＜1或1＜a＜4}\end{array}\right.$，
得0＜a＜1或$\frac{5}{3}$＜a＜4
綜上0＜a≤1或$\frac{5}{3}$＜a＜4．

點評 本題考查命題的真假判斷，考查函數(shù)的值域為R的問題解法，注意分類討論和結合二次函數(shù)的圖象，考查函數(shù)圖象的交點問題解法，注意運用分類討論思想，考查運算能力，屬于中檔題．