Question

20．已知數列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+2}$（n∈N^*），若b_n+1=（n-2λ）•（$\frac{1}{{a}_{n}}$+1）（n∈N^*），b₁=-$\frac{3}{2}$λ，且數列{b_n}是單調遞增數列，則實數λ的取值范圍是$（-∞，\frac{4}{5}）$．

Answer 1

分析 數列{a_n}滿足：a₁=1，a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+2}$（n∈N^*），兩邊取倒數可得：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$+1=2$（\frac{1}{{a}_{n}}+1）$，可得$\frac{1}{{a}_{n}}$+1=2ⁿ，代入b_n+1=（n-2λ）$（\frac{1}{{a}_{n}}+1）$=（n-2λ）•2ⁿ，數列{b_n}是單調遞增數列，n≥2時，利用b_n+1＞b_n，可得λ＜$\frac{3}{2}$．但是當n=1時，b₂＞b₁，即可得出．

解答 解：∵數列{a_n}滿足：a₁=1，a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+2}$（n∈N^*），
∴兩邊取倒數，化為$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=1+$\frac{2}{{a}_{n}}$，變形為：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$+1=2$（\frac{1}{{a}_{n}}+1）$，
∴數列{$\frac{1}{{a}_{n}}$+1}是等比數列，首項為$\frac{1}{{a}_{1}}$+1=2，公比為2，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$+1=2ⁿ，
∴b_n+1=（n-2λ）$（\frac{1}{{a}_{n}}+1）$=（n-2λ）•2ⁿ，
∵數列{b_n}是單調遞增數列，n≥2時，
∴b_n+1＞b_n，
∴（n-2λ）•2ⁿ＞（n-1-2λ）•2^n-1，
化為：λ＜$\frac{n+1}{2}$，
解得λ＜$\frac{3}{2}$．
但是當n=1時，
b₂＞b₁，∵b₁=-$\frac{3}{2}$λ，
∴（1-2λ）•2＞-$\frac{3}{2}$λ，
解得λ＜$\frac{4}{5}$，
∴λ∈$（-∞，\frac{4}{5}）$．
故答案為：$（-∞，\frac{4}{5}）$．

點評 本題考查了等差數列的通項公式及其性質、數列遞推關系、單調性、不等式的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．