Question

8．函數(shù)y=log_a（x+2）-1（a＞0，a≠1）的圖象恒過定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在直線mx+ny+1=0上，其中m＞0，n＞0，則$\frac{1}{m}$+$\frac{2}{n}$的最小值為（　　）

• A． 3+2$\sqrt{2}$
• B． 3+2$\sqrt{3}$
• C． 7
• D． 11

Answer 1

分析 函數(shù)y=log_a（x+2）-1（a＞0，a≠1）的圖象恒過定點(diǎn)A（-1，-1），可得m+n=1．于是$\frac{1}{m}$+$\frac{2}{n}$=（m+n）$（\frac{1}{m}+\frac{2}{n}）$=3+$\frac{n}{m}$+$\frac{2m}{n}$，再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：函數(shù)y=log_a（x+2）-1（a＞0，a≠1）的圖象恒過定點(diǎn)A（-1，-1），
∵點(diǎn)A在直線mx+ny+1=0上，其中m＞0，n＞0，∴-m-n+1=0，即m+n=1．
則$\frac{1}{m}$+$\frac{2}{n}$=（m+n）$（\frac{1}{m}+\frac{2}{n}）$=3+$\frac{n}{m}$+$\frac{2m}{n}$≥3+2$\sqrt{\frac{n}{m}•\frac{2m}{n}}$=3+2$\sqrt{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)n=$\sqrt{2}$m=2-$\sqrt{2}$時(shí)取等號(hào)．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．