Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論的極值點的個數(shù)；

（2）當(dāng)時，若存在實數(shù)，使得，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】

（1）先求得函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).令,分離參數(shù)后構(gòu)造函數(shù),并求得,通過判斷在各區(qū)間內(nèi)的符號,判斷的單調(diào)性及的取值情況.即可根據(jù)的取值情況,判斷極值點的個數(shù).

（2）將代入,并令,即可用表示出與,即可表示出.構(gòu)造函數(shù),并求得,結(jié)合的符號即可判斷的單調(diào)性,進(jìn)而求得的最小值.

（1）由題可知,

令,得,

記,則

當(dāng)時,；時,；時,,

∴在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,

又

時,；

時,；

時,,

∴當(dāng)時,函數(shù)有2個極值點；

當(dāng)時,函數(shù)無極值點；

當(dāng)時,函數(shù)有1個極值點；

（2）當(dāng)時,設(shè),

則,

∵,∴,即,

故,,

∴,,即.

令,

則,

∵與在均單調(diào)遞增,

∴在均單調(diào)遞增,且,

∴當(dāng)時,,當(dāng)時,,

∴在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,

∴當(dāng)時,取最小值,此時,

即的最小值為.