Question

【題目】對(duì)于函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)，使成立，則稱(chēng)為的不動(dòng)點(diǎn).

（1）當(dāng)，時(shí)，求的不動(dòng)點(diǎn)；

（2）若對(duì)于任何實(shí)數(shù)，函數(shù)恒有兩相異的不動(dòng)點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）在（2）的條件下，若的圖象上、兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)是函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)，且直線(xiàn)是線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)，求實(shí)數(shù)的最小值.

Answer 1

【答案】（1）不動(dòng)點(diǎn)是－1，2.（2）（3）

【解析】

（1）根據(jù)不動(dòng)點(diǎn)定義,代入,,即可得一元二次方程,解方程即可求解.

（2）令,可得一元二次方程.根據(jù)有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)根,可知對(duì)應(yīng)判別式.即可得關(guān)于的不等式.再由對(duì)于任意實(shí)數(shù)恒成立,可知對(duì)應(yīng)判別式即可求得的取值范圍;

（3）根據(jù)題意可設(shè),,即可求得直線(xiàn)的斜率.根據(jù)直線(xiàn)是線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn),可求得的值.設(shè)的中點(diǎn)為,由韋達(dá)定理可得,代入直線(xiàn)即可用表示出.結(jié)合基本不等式即可求得的取值范圍,即可得的最小值.

∵

（1）當(dāng),時(shí),

設(shè)為其不動(dòng)點(diǎn),即.

則.

∴,.

即的不動(dòng)點(diǎn)是－1,2.

（2）由得.由已知,此方程有相異二實(shí)根,

恒成立,即.

即對(duì)任意恒成立.

∴,

∴,

∴.

（3）因?yàn)?/span>的圖象上、兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)是函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn),設(shè),,

則

直線(xiàn)是線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn),

∴

記的中點(diǎn).由（2）知,

∵在上,

∴.

化簡(jiǎn)得

（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立）.

即.

因?yàn)?/span>,所以

綜上可知

所以