Question

已知平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn) P到定點(diǎn)的距離等于它到定直線的距離，又已知點(diǎn) O（0，0），M（0，1）．
（1）求動(dòng)點(diǎn) P的軌跡C的方程；
（2）當(dāng)點(diǎn) P（x，y）（x≠0）在（1）中的軌跡C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，以 M P為直徑作圓，求該圓截直線所得的弦長(zhǎng)；
（3）當(dāng)點(diǎn) P（x，y）（x≠0）在（1）中的軌跡C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，過(guò)點(diǎn) P作x軸的垂線交x軸于點(diǎn) A，過(guò)點(diǎn) P作（1）中的軌跡C的切線l交x軸于點(diǎn) B，問(wèn)：是否總有 P B平分∠A PF？如果有，請(qǐng)給予證明；如果沒(méi)有，請(qǐng)舉出反例．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)拋物線的定義判定出動(dòng)點(diǎn) P是以為焦點(diǎn)以為準(zhǔn)線的拋物線，直接寫(xiě)出其方程為x²=2y
（2）根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求出圓的方程，根據(jù)直線截圓的弦長(zhǎng)公式弦長(zhǎng)l=2求出該圓截直線所得的弦長(zhǎng)
（3）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，利用直線的點(diǎn)斜式求出切線l的方程為，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出B到PA的距離為，再求出點(diǎn)B到直線PF的距離，根據(jù)角平分線的判定得到總有PB平分∠APF．
解答：解：（1）根據(jù)題意，動(dòng)點(diǎn) P是以為焦點(diǎn)以為準(zhǔn)線的拋物線，
所以p=1開(kāi)口向上，
所以動(dòng)點(diǎn) P的軌跡C的方程為x²=2y
（2）以 M P為直徑的圓的圓心（），|MP|===
所以圓的半徑r=，圓心到直線的距離d=||=，
故截得的弦長(zhǎng)l=2==1
（3）總有 P B平分∠A PF．
證明：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025124410291939402/SYS201310251244102919394020_DA/19.png">
所以，y^′=x，．
所以切線l的方程為，
令y=0得，
所以B（）
所以B到PA的距離為
下面求直線PF的方程，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025124410291939402/SYS201310251244102919394020_DA/25.png">
所以直線PF的方程為整理得
所以點(diǎn)B到直線PF的距離
所以 PB平分∠APF．
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義；直線與圓相交的弦長(zhǎng)公式；點(diǎn)到直線的距離公式以及角平分線的判定，屬于一道綜合題．