Question

M是橢圓T：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上任意一點，F(xiàn)是橢圓T的右焦點，A為左頂點，B為上頂點，O為坐標原點，如下圖所示，已知|MF|的最大值為3+

5

，最小值為3-

5

．
（1）求橢圓T的標準方程；
（2）求△ABM的面積的最大值S₀．若點N（x，y）滿足x∈Z，y∈Z，稱點N為格點．問橢圓T內部是否存在格點G，使得△ABG的面積S∈（6，S₀）？若存在，求出G的坐標；若不存在，請說明理由．（提示：點P（x₀，y₀）在橢圓T內部?

x02

a2

+

y02

b2

＜1）．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由橢圓性質可知|MF|=

c

a

(

a2

c

-xM)=a-

c

a

xM，由已知條件得

a+c=3+ 5 a-c=3- 5

，由此能求出橢圓T的方程．
（2）由題知直線AB的方程為y=

2

3

x+2，設直線l：y=

2

3

x+m與橢圓T相切于x軸下方的點M₀，則△ABM₀的面積為△ABM的面積的最大值S₀．直線與橢圓聯(lián)立求出直線AB與直線l距離為

2+2 2

1+ 4 9

=

3(2+2 2 )

13

，由此能求出（2，-1）為所求格點G．

解答： 解：（1）由橢圓性質可知|MF|=

c

a

(

a2

c

-xM)=a-

c

a

xM，
其中c＞0，c²=a²-b²，
因為x_M∈[-a，a]，故|MF|∈[a-c，a+c]
則

a+c=3+ 5 a-c=3- 5

，解之得

a=3 c= 5

…（4分）
故b²=a²-c²=4
橢圓T的方程為

x2

9

+

y2

4

=1…（5分）
（2）由題知直線AB的方程為y=

2

3

x+2，
設直線l：y=

2

3

x+m與橢圓T相切于x軸下方的點M₀，
則△ABM₀的面積為△ABM的面積的最大值S₀.

y= 2 3 x+m x2 9 + y2 4 =1

⇒

2

9

x2+

m

3

x+

m2

4

-1=0⇒△=

m2

9

-4•

2

9

(

m2

4

-1)=0⇒m=-2

2

此時，直線AB與直線l距離為

2+2 2

1+ 4 9

=

3(2+2 2 )

13

，
而|AB|=

13

S0=

1

2

•

13

•

3(2+2 2 )

13

=3(1+

2

)…（8分）
而S=

13

2

h，令6＜

13

2

h＜3(1+

2

)，則

12

13

＜h＜

3(1+ 2 )

13

設直線l1：y=

2

3

x+n到直線AB的距離為

12

13

，
則有

|n-2|

1+ 4 9

=

12

13

，解得n=-2或6，
注意到l₁與直線AB平行且l₁需與橢圓T應有公共點，
故只需考慮n=-2的情形．
直線y=

2

3

x-2經(jīng)過橢圓T的下頂點B₀（0，-2）與右頂點A₀，
則線段A₀B₀上任意一點G₀與A、B組成的三角形的面積為6．…（10分）
根據(jù)題意若存在滿足題意的格點G，則G必在直線A₀B₀與l之間．
而在橢圓內部位于四象限的格點為（1，-1），（2，-1）
因為-1＞

2

3

•1-2，故（1，-1）在直線A₀B₀上方，不符題意
而-1＜

2

3

•2-2，則點（2，-1）在直線A₀B₀下方，
且

22

9

+

(-1)2

4

=

25

36

＜1，點在橢圓內部，
所以（2，-1）為所求格點G．…（12分）

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查滿足條件的格點坐標是否存在的判斷與求法，解題時要認真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用．