Question

9．已知直線y=2x-1與拋物線C：x²=2py（p＞0）相切
（1）求拋物線C的方程
（2）過拋物線C的焦點F作直線l交拋物線于A，B兩點，若弦AB的中點的縱坐標為$\frac{11}{4}$，求弦AB的長度．

Answer 1

分析 （1）聯(lián)立直線方程與橢圓方程消掉y得x的二次方程，由直線與拋物線相切得△=0，解出即可．
（2）由拋物線的定義可得AB=AA′+BB′，再由線段AB的中點M的縱坐標為$\frac{11}{4}$可得 2MM′=AA′+BB′，即 2（$\frac{11}{4}$+$\frac{1}{4}$）=AA′+BB′=AB，由此求得線段AB的長．

解答 解：（1）由直線y=2x-1與拋物線C：x²=2py（p＞0），聯(lián)立得x²-4px+2p=0，
因為直線與拋物線相切，
所以△=16p²-8p=0，解得p=$\frac{1}{2}$，
∴拋物線C的方程是x²=y；
（2）設A、B、M在準線y=-$\frac{1}{4}$上的射影分別為A′、B′、M′，則由拋物線的定義可得AB=AA′+BB′．
再由線段AB的中點M的縱坐標為$\frac{11}{4}$可得 2MM′=AA′+BB′，即 2（$\frac{11}{4}$+$\frac{1}{4}$）=AA′+BB′=AB，
∴AB=6．

點評 本題考查拋物線的定義、標準方程，以及簡單性質的應用，考查直線與拋物線的位置關系，屬中檔題．