Question

如圖6，正方形所在平面與圓所在平面相交于，線(xiàn)段為圓的弦，垂直于圓所在平面，垂足是圓上異于、的點(diǎn)，，圓的直徑為9．

   （1）求證：平面平面；

（2）求二面角的平面角的正切值．

Answer 1

（1）見(jiàn)解析    （2） 

解析:

  （1）證明：∵垂直于圓所在平面，在圓所在平面上，

∴．

在正方形中，，

∵，∴平面．

∵平面，

∴平面平面．

_ks5u

_ks5u

_ks5u

_ks5u

_ks5u

_ks5u

_ks5u

_ks5u

_ks5u

_ks5u

_ks5u

_ks5u

_ks5u

_ks5u

_ks5u

_ks5u

_ks5u

_ks5u

_ks5u

_ks5u

_ks5u

_ks5u

_ks5u

_ks5u

_ks5u

_ks5u

_ks5u

_ks5u

_ks5u

_ks5u

_ks5u

_ks5u

_ks5u

_ks5u

_ks5u

_ks5u

_ks5u

_ks5u

_ks5u

_ks5u

_ks5u

_ks5u

_ks5u

_ks5u

（2）解法1：∵平面，平面，

∴．

∴為圓的直徑，即．

設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，

在△中，，

在△中，，

由，解得，．

∴．

過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，作交于點(diǎn)，連結(jié)，

由于平面，平面，

∴．

∵，

∴平面．

∵平面，

∴．

∵，，

∴平面．

∵平面，

∴．

∴是二面角的平面角．

在△中，，，，

∵，

∴．

在△中，，

∴．

故二面角的平面角的正切值為．

解法2：∵平面，平面，

∴．

∴為圓的直徑，即．

設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，

在△中，，

在△中，，

由，解得，．

∴．

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以、所在的直線(xiàn)為軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，

．

設(shè)平面的法向量為，

則即

取，則是平面的一個(gè)法向量．

設(shè)平面的法向量為，

則即

取，則是平面的一個(gè)法向量．

∵，

∴．

∴．

故二面角的平面角的正切值為．