Question

9．已知函數(shù)f（x）=x-ae^x，a∈R．
（Ⅰ）當a=1時，求曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線的方程；
（Ⅱ）若曲線y=f（x）與x軸有且只有一個交點，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當a=1時，f（x）=x-e^x，f'（x）=1-e^x．切線的斜率k=f'（0）=0，切點（0，f（0）），即可求得切線方程．
（Ⅱ）由f（x）=x-ae^x，得f'（x）=1-ae^x．分a≤0，a＞求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合圖象求解．

解答 解：（Ⅰ）當a=1時，f（x）=x-e^x，f'（x）=1-e^x．
當x=0時，y=-1，又f'（0）=0，
所以曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程為y=-1．…（4分）
（Ⅱ）由f（x）=x-ae^x，得f'（x）=1-ae^x．
當a≤0時，f'（x）＞0，此時f（x）在R上單調(diào)遞增．
當x=a時，f（a）=a-ae^a=a（1-e^a）≤0，當x=1時，f（1）=1-ae＞0，
所以當a≤0時，曲線y=f（x）與x軸有且只有一個交點；       …（8分）
當a＞0時，令f'（x）=0，得x=-lna．f（x）與f'（x）在區(qū)間（-∞，+∞）上的情況如下：

x	（-∞，-lna）	-lna	（-lna，+∞）
f'（x）	+	0	-
f（x）	↗	極大值	↘

若曲線y=f（x）與x軸有且只有一個交點，
則有f（-lna）=0，即-lna-a e^-lna=0．解得$a=\frac{1}{e}$．
綜上所述，當a≤0或$a=\frac{1}{e}$時，曲線y=f（x）與x軸有且只有一個交點．…（12分）

點評 本題考查了導數(shù)的綜合應用，利用導數(shù)求切線方程，函數(shù)圖象與橫軸交點問題．屬于中檔題．