Question

7．近期中央電視臺播出的《中國詩詞大會》火遍全國，下面是組委會在選拔賽時隨機抽取的100名選手的成績，按成績分組，得到的頻率分布表如下表示．

組號	分組	頻數	頻率
第1組	[160，165）		0.100
第2組	[165，170）	①
第3組	[170，175）	20	②
第4組	[175，180）	20	0.200
第5組	[180，185）	10	0.100
合計		100	1.00

（1）請先求出頻率分布表中①、②位置相應的數據，再完成頻率分布直方圖（用陰影表示）；
（2）為了能選拔出最優(yōu)秀的選手，組委會決定在筆試成績高的第3、4、5組中用分層抽樣抽取5名學生進入第二輪面試，求第3、4、5組每組各抽取多少名選手進入第二輪面試；
（3）在（2）的前提下，組委會決定在5名選手中隨機抽取2名選手接受A考官進行面試，求：第4組至少有一名選手被考官A面試的概率．

Answer 1

分析 （1）f求出第一組的頻數，第2組的頻率，由此能求出頻率分布表中①、②位置相應的數據，并完成頻率分布直方圖．
（2）利用分層抽樣在50名選手中抽取5名選手進行第二輪面試，能求出第3、4、5組每組各抽取多少名選手進入第二輪面試．
（3）設第3組的2位選手為A₁，A₂，第4組的2位選手為B₁，B₂，第5組的1位選手為C₁，從這五位選手中抽取兩位選手，利用列舉法能求出第4組至少有一名選手被考官A面試的概率．

解答 解：（1）第一組的頻數為100×0.100=10人，
∴①外應該填：100-（10+20+20+10）=40人，
從而第2組的頻率為$\frac{40}{100}=0.400$，
∴②處應填的數為：1-（0.1+0.4+0.2+0.1）=0.200．
頻率分布直方圖為：

（2）∵第3、4、5組共有50名選手，
∴利用分層抽樣在50名選手中抽取5名選手進行第二輪面試，
每組抽取的人數分別為：
第3組：$\frac{20}{50}×5=2$人，第4組：$\frac{20}{50}×5=2$人，第5組：$\frac{10}{50}×5=1$人，
∴第3，4，5組分別抽取2人，2人，1人進入第二輪面試．
（3）設第3組的2位選手為A₁，A₂，第4組的2位選手為B₁，B₂，第5組的1位選手為C₁，
從這五位選手中抽取兩位選手有10種抽取方法，分別為：
（A₁，A₂），（A₁，B₁），（A₁，B₂），（A₁，C₁），（A₂，B₁），
（A₂，B₂），（A₂，C₁），（B₁，B₂），（B₁，C₁），（B₂，C₁），
其中第4級的兩位選手B₁，B₂中至少有一位入選的有：
（A₁，B₁），（A₁，B₂），（A₂，B₁），（A₂，B₂），（B₁，B₂），（B₁，C₁），（B₂，C₁），
共有7種，
∴第4組至少有一名選手被考官A面試的概率p=$\frac{7}{10}$．

點評 本題考查頻率分布圖、分層抽樣、概率等基礎知識，考查數據處理能力、運算求解能力、推理論證能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想，是基礎題．