Question

【題目】設(shè)向量 =（4cosα，sinα）， =（sinβ，4cosβ）， =（cosβ，﹣4sinβ）
（1）若 與 ﹣2 垂直，求tan（α+β）的值；
（2）若β∈（﹣ ]，求| |的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解： ﹣2 =（sinβ﹣2cosβ，4cosβ+8sinβ）

∵ 與 ﹣2 垂直，

∴ （ ﹣2 ）=0，

即4cosαsinβ﹣8cosαcosβ+4sinαcosβ+8sinαsinβ=4sin（α+β）﹣8cos（α+β），

則sin（α+β）=2cos（α+β），

即tan（α+β）=2，

（2）解：由 =（sinβ+cosβ，4cosβ﹣4sinβ），

則| |2=（sinβ+cosβ）2+（4cosβ﹣4sinβ）2=17﹣15sin2β，

∵β∈（﹣ ]，

∴2β∈（﹣ ， ]，

則 ＜sin2β≤1，

則2≤17﹣15sin2β＜ ，

則2≤| |2＜ ，

則 ≤| |＜

即| |的取值范圍是[ ， ）

【解析】（1）根據(jù) 與 ﹣2 垂直，轉(zhuǎn)化為數(shù)量積為0，結(jié)合三角函數(shù)的兩角和差的公式進行轉(zhuǎn)化求解即可．（2）根據(jù)向量模長的公式 進行化簡，結(jié)合三角函數(shù)的有界性進行求解．
【考點精析】本題主要考查了兩角和與差的正切公式的相關(guān)知識點，需要掌握兩角和與差的正切公式：才能正確解答此題．