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13.已知函數(shù)y=x+ax具有如下性質(zhì):當(dāng)a>0時(shí),該函數(shù)在(0,a]上是減函數(shù),在[a,+∞)上是增函數(shù).
(1)如果函數(shù)y=x+\frac{{2}^}{x}(x>0)的值域?yàn)閇6,+∞),求b的值;
(2)研究函數(shù)y=x2+cx2(常數(shù) c>0)奇偶性和定義域內(nèi)的單調(diào)性;
(3)對(duì)函數(shù)y=x+ax和y=x2+ax2(常數(shù) a>0)作出推廣,使的它們都是你所推廣的函數(shù)的特例,研究其單調(diào)性(只需寫出結(jié)論,不必證明).

分析 (1)由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)y=x+2x(x>0)的最小值,再由最小值為6列式求得b值;
(2)由偶函數(shù)的定義判斷函數(shù)y=x2+cx2(常數(shù) c>0)是偶函數(shù),再由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合該函數(shù)是偶函數(shù)求其單調(diào)區(qū)間;
(3)對(duì)比(1)(2)可分n為奇數(shù)和偶數(shù)得到函數(shù)y=xn+axn(a>0)的單調(diào)區(qū)間.

解答 解 (1)由函數(shù)y=x+ax的性質(zhì):當(dāng)a>0時(shí),該函數(shù)在(0,a]上是減函數(shù),在[a,+∞)上是增函數(shù),可得
當(dāng)x=\sqrt{{2}^}時(shí),y=x+2x(x>0)有最小值為22
∴22=6,得b=2log23;
(2)函數(shù)y=x2+cx2(常數(shù) c>0)的定義域?yàn)閧x|x≠0},又f(-x)=x2+cx2=x2+cx2=f(x),
∴函數(shù)y=x2+cx2(常數(shù) c>0)為偶函數(shù),
當(dāng)x>0時(shí),由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得y=x2+cx2在(0,\root{4}{c}]上是減函數(shù),在[\root{4}{c},+∞)上是增函數(shù),
由函數(shù)為偶函數(shù),結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)可得:函數(shù)y=x2+cx2在(-∞,-\root{4}{c}],(0,\root{4}{c}]上是減函數(shù),在[-\root{4}{c},0),[\root{4}{c},+∞)上是增函數(shù);
(3)當(dāng)n為奇數(shù),y=xn+axn(a>0)為奇函數(shù),在[-\root{2n}{a},0),(0,\root{2n}{a}]是減函數(shù),在[\root{2n}{a},+∞),(-∞,-\root{2n}{a}]上是增函數(shù);
當(dāng)n為偶數(shù),y=xn+axn(a>o)為偶函數(shù),在(0,\root{2n}{a}],(-∞,-\root{2n}{a}]上是減函數(shù),在[-\root{2n}{a},0),[\root{2n}{a},+∞)上是增函數(shù).
證明:y′=(xn+axn)′=nxn-1+a(-n)x-n-1=nx2nanxn+1
令y′=0,即x2n=a,解得x=±\root{2n}{a}
當(dāng)n為奇數(shù),y=xn+axn(a>0)為奇函數(shù),在[-\root{2n}{a},0),(0,\root{2n}{a}]是減函數(shù),在[\root{2n}{a},+∞),(-∞,-\root{2n}{a}]上是增函數(shù);
當(dāng)n為偶數(shù),y=xn+axn(a>o)為偶函數(shù),在(0,\root{2n}{a}],(-∞,-\root{2n}{a}]上是減函數(shù),在[-\root{2n}{a},0),[\root{2n}{a},+∞)上是增函數(shù).

點(diǎn)評(píng) 本題考查對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì),熟記并靈活運(yùn)用性質(zhì)求解該類型函數(shù)的值域尤為重要,是中檔題.

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