Question

8．已知f₁（x）=e^x（sinx+cosx），f_n+1（x）=f_n′（x），則f₂₀₁₇（x）=（　�。�

• A． -2¹⁰⁰⁷e^xcosx
• B． -2¹⁰⁰⁷e^x（cosx-sinx）
• C． 2¹⁰⁰⁸e^xsinx
• D． 2¹⁰⁰⁸e^x（sinx+cosx）

Answer 1

分析 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，尋找導(dǎo)函數(shù)的規(guī)律即可得到結(jié)論．

解答 解：f₂（x）=f₁′（x）=e^x（sinx+cosx）+e^x（cosx-sinx）=2e^x•cosx，
f₃（x）=f₂′（x）=2e^x•（cosx-sinx），
f₄（x）=f₃′（x）=-2²e^x•sinx，
f₅（x）=f₄′（x）=-2²e^x（sinx+cosx），
f₆（x）=f₅′（x）=-2³e^xcosx，
f₇（x）=f₆′（x）=-2³e^x（cosx-sinx），
f₈（x）=f₇′（x）=2⁴e^xsinx，
f₉（x）=f₈′（x）=2⁴e^x（sinx+cosx）
…
f₂₀₁₇（x）=2¹⁰⁰⁸e^x（sinx+cosx），
故選：D

點評 本題考查三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、周期性、及觀察歸納思想的運用，屬于中檔題．熟練掌握三角函數(shù)的求導(dǎo)法則，利用其中的函數(shù)周期性則解決本題的關(guān)鍵．