Question

9．已知函數(shù)$f（x）=lg\frac{1-x}{1+x}$
（1）求函數(shù)的定義域并判斷其單調(diào)性；
（2）解關(guān)于x的不等式f（2x-1）＜0．

Answer 1

分析 （1）利用真數(shù)大于0求函數(shù)的定義域，利用復(fù)合函數(shù)判斷其單調(diào)性；
（2）關(guān)于x的不等式f（2x-1）＜0，轉(zhuǎn)化為對數(shù)不等式，即可求解．

解答 解：（1）$\frac{1-x}{1+x}＞0?（1-x）（1+x）＞0?-1＜x＜1$，
則定義域為（-1，1）…（3分）
f（x）由y=lgt與$t=\frac{1-x}{1+x}=-1+\frac{2}{1+x}$復(fù)合而成，y=lgt為增函數(shù)，
$t=-1+\frac{2}{1+x}$在（-1，1）上是減函數(shù)，
則函數(shù)$f（x）=lg\frac{1-x}{1+x}$在（-1，1）上為減函數(shù)…（7分）
（2）$f（2x-1）＜0?lg\frac{1-（2x-1）}{1+2x-1}=lg\frac{1-x}{x}＜0$，
即$0＜\frac{1-x}{x}＜1$，
∴$0＜\frac{1}{x}-1＜1⇒1＜\frac{1}{x}＜2⇒\frac{1}{2}＜x＜1$…（12分）

點評 本題考查對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，考查對數(shù)不等式，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．