Question

2．已知在（-∞，1]上遞減的函數(shù)f（x）=x²-2tx+1，且對(duì)任意的x₁，x₂∈[0，t+1]，總有|f（x₁）-f（x₂）|≤2，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為（　　）

• A． $[-\sqrt{2}，\sqrt{2}]$
• B． $[1，\sqrt{2}]$
• C． [2，3]
• D． [1，2]

Answer 1

分析 由條件利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得t≥1．故只要f（0）-f（t）≤2 即可，解不等式可求得t的范圍．

解答 解：由于函數(shù)f（x）=x²-2tx+1的圖象的對(duì)稱軸為x=t，
函數(shù)f（x）=x²-2tx+1在區(qū)間（-∞，1]上單調(diào)遞減，∴t≥1．
則在區(qū)間∈[0，t+1]上，0離對(duì)稱軸x=t最遠(yuǎn)，
故要使對(duì)任意的x₁，x₂∈[0，t+1]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤2，
只要f（0）-f（t）≤2即可，即1-（t²-2t²+1）≤2，求得-$\sqrt{2}$≤t≤$\sqrt{2}$．
再結(jié)合t≥1，可得1≤t≤$\sqrt{2}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要二次函數(shù)的性質(zhì)，注意討論對(duì)稱軸和區(qū)間的關(guān)系，不等式的解法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．