Question

13．已知等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=1，公差d＞0，且第2項(xiàng)、第5項(xiàng)、第14項(xiàng)分別是一個(gè)等比數(shù)列的第2項(xiàng)、第3項(xiàng)、第4項(xiàng)．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=$\frac{1}{n（an+3）}$ （n∈N₊），S_n=b₁+b₂+…+b_n，求S_n．

Answer 1

分析 （1）由等比數(shù)列等比中項(xiàng)的性質(zhì)可知：（a₁+d）（a₁+13d）=（a₁+4d）²，由d＞0，代入即可求得d=2，根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式，即可求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）b_n=$\frac{1}{n（{a}_{n}+3）}$=$\frac{1}{2n（n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），采用“裂項(xiàng)法”即可求得S_n．

解答 解：（1）由題意得（a₁+d）（a₁+13d）=（a₁+4d）²，
整理得：2a₁d=d²．
∵d＞0，
∴d=2．
∵a₁=1．
∴a_n=2n-1 （n∈N₊）．
（2）b_n=$\frac{1}{n（{a}_{n}+3）}$=$\frac{1}{2n（n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n，
=$\frac{1}{2}$[（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+…（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）]，
=$\frac{1}{2}$[1-$\frac{1}{n+1}$]，
=$\frac{n}{2（n+1）}$，
∴S_n=$\frac{n}{2（n+1）}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列等比中項(xiàng)，等差數(shù)列通項(xiàng)公式，考查采用“裂項(xiàng)法”求數(shù)列的前n項(xiàng)和，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．