Question

1．已知曲線C的極坐標方程為ρ=6sinθ，以極點O為原點，極軸為x軸的非負半軸建立直角坐標系，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+at}\\{y=1+t}\end{array}\right.$ （t為參數(shù)）．
（1）求曲線C的直角坐標方程及直線l的普通方程；
（2）直線l與曲線C交于B，D兩點，當|BD|取到最小值時，求a的值．

Answer 1

分析 （1）曲線C的極坐標方程為ρ=6sinθ，即ρ²=6ρsinθ，利用互化公式可得直角坐標方程．直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+at}\\{y=1+t}\end{array}\right.$ （t為參數(shù)），消去參數(shù)t可得普通方程．
（2）由直線l經(jīng)過定點P（-1，1），此點在圓的內(nèi)部，因此當CP⊥l時，|BD|取到最小值，利用k_CP•k_l=-1，解得k_l，即可得出．

解答 解：（1）曲線C的極坐標方程為ρ=6sinθ，即ρ²=6ρsinθ，化為直角坐標方程：x²+y²=6y，配方為：x²+（y-3）²=9，圓心C（0，3），半徑r=3．
直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+at}\\{y=1+t}\end{array}\right.$ （t為參數(shù)），消去參數(shù)t可得：x-ay+a+1=0．
（2）由直線l經(jīng)過定點P（-1，1），此點在圓的內(nèi)部，
因此當CP⊥l時，|BD|取到最小值，則k_CP•k_l=$\frac{1-3}{-1-0}$×k_l=-1，解得k_l=-$\frac{1}{2}$．
∴$\frac{1}{a}$=-$\frac{1}{2}$，解得a=-2．

點評 本題考查了極坐標與直角坐標的互化、參數(shù)方程化為普通方程、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系、圓的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．