Question

【題目】已知等差數(shù)列滿足，.

（1）求的通項公式；

（2）若，數(shù)列滿足關系式，求證：數(shù)列的通項公式為；

（3）設（2）中的數(shù)列的前n項和為，對任意的正整數(shù)n，恒成立，求實數(shù)p的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1），；（2）見解析；（3）

【解析】

（1）由等差數(shù)列由通項公式，得到首項與公差的方程組，得出首項與公差的值，得到通項公式；

（2）已知數(shù)列的遞推公式，由疊加法，得到數(shù)列的通項公式；

（3）將數(shù)列求和得到前n項和后，將條件變形后，得到關于參數(shù)p的關系式，這是一個恒成立問題，通過最值的研究，得到本題結論.

（1）設等差數(shù)列的公差為d，

由已知，有，

解得

所以，

即等差數(shù)列的通項公式為，.

（2）因為，

所以，當時，.

證法一（數(shù)學歸納法）：

①當時，，結論成立；

②假設當時結論成立，即，

那么當時，，

即時，結論也成立.

由①，②得，當時，成立.

證法二：當時，，

所以

將這個式子相加，得，

即.

當時，也滿足上式.

所以數(shù)列的通項公式為.

（3）由（2），所以，

原不等式變?yōu)?/span>，即，

對任意恒成立，

為任意的正整數(shù)，

.

的取值范圍是.