Question

已知

a

=（sin²x，cos²x），

b

=(sin2x，-cos2x)，R是實(shí)數(shù)集，f(x)=

a

•

b

+4cos2x+2

3

sinxcosx．如果?m∈R，?x∈R，f（x）≥f（m），那么f（m）=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：首先，根據(jù)平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)，得到

a

•

b

的運(yùn)算結(jié)果，然后，結(jié)合二倍角公式和降冪公式，化簡(jiǎn)函數(shù)f（x）的解析式，然后，再結(jié)合條件?m∈R，?x∈R，f（x）≥f（m），限制m的取值情形，從而得到m的取值范圍．

解答： 解：∵

a

=（sin²x，cos²x），

b

=(sin2x，-cos2x)，
∴

a

•

b

=sin⁴x-cos⁴x
=（sin²x+cos²x）（sin²x-cos²x）
=sin²x-cos²x
∵f（x）=

a

•

b

+4cos²x+2

3

sinxcosx，
=sin²x-cos²x+4cos²x+2

3

sinxcosx
=1+2cos²x+

3

sin2x
=cos2x+

3

sin2x+2
=2sin（2x+

π

6

）+2
∴f（x）=2sin（2x+

π

6

）+2
∴f（x）的最小值為0，
∵?m∈R，?x∈R，f（x）≥f（m），
∴f（m）=0．
故答案為：0．

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，兩角和與差的三角函數(shù)等公式，屬于中檔題．