Question

4．設點M，N為圓x²+y²=9上兩個動點，且|MN|=4$\sqrt{2}$，若點P為線段3x+4y+15=0（xy≥0）上一點，則|$\overrightarrow{PM}$+$\overrightarrow{PN}$|的最大值為（　�。�

• A． 4
• B． 6
• C． 8
• D． 12

Answer 1

分析 由已知求出$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$的值，把|$\overrightarrow{PM}$+$\overrightarrow{PN}$|轉化為|$2\overrightarrow{PO}+\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}$|，數(shù)形結合得答案．

解答 解：由已知得|$\overrightarrow{OM}$|=|$\overrightarrow{ON}$|=3，
則$|\overrightarrow{MN}{|}^{2}=|\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OM}{|}^{2}=|\overrightarrow{ON}{|}^{2}+|\overrightarrow{OM}{|}^{2}$$-2\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}=32$，
得$2\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}=-14$．
|$\overrightarrow{PM}$+$\overrightarrow{PN}$|=|$\overrightarrow{PO}+\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{PO}+\overrightarrow{ON}$|=|$2\overrightarrow{PO}+\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}$|，
而$|\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}|=\sqrt{|\overrightarrow{OM}{|}^{2}+|\overrightarrow{ON}{|}^{2}+2\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}}$=$\sqrt{9+9-14}=2$．
如圖：
由圖可知，當p在點（5，0）處，且向量$2\overrightarrow{PO}$與向量（$\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}$）同向共線時，|$\overrightarrow{PM}$+$\overrightarrow{PN}$|有最大值為12．
故選：D．

點評 本題考查平面向量的數(shù)量積運算，考查數(shù)學轉化思想方法與數(shù)形結合的解題思想方法，是中檔題．