Question

9．點P是雙曲線$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{12}=1$上的點，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別是雙曲線的左右焦點，$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，則|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|•|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|=（　�。�

• A． 48
• B． 32
• C． 16
• D． 24

Answer 1

分析 根據(jù)雙曲線的方程得到a，c的值，設(shè)|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|=m，|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|=n，根據(jù)雙曲線的定義可得n-m=4，再根據(jù)垂直和勾股定理可得答案

解答 解：設(shè)|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|=m，|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|=n，
∵a=2，c=4，
∴n-m=2a=4，
∴（n-m）²=16，
即n²+m²-2mn=16
∵$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，
∴$\overrightarrow{P{F}_{1}}$⊥$\overrightarrow{P{F}_{2}}$，
∴n²+m²=4c²=64，
∴64-2mn=16，
∴mn=24，
即|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|•|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|=24，
故選：D

點評 本題考查了雙曲線的簡單性質(zhì)，以及向量的數(shù)量積和向量的垂直的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．