Question

【題目】如圖，在多面體中，均垂直于平面，，，，.

（1）過的平面與平面垂直，請(qǐng)?jiān)趫D中作出截此多面體所得的截面，并說明理由；

（2）若，，求多面體的體積.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

（1）取的中點(diǎn)，連接，則平行四邊形即為所求的截面．然后根據(jù)空間中的線面關(guān)系可證得平面平面即可．（2）利用分割或補(bǔ)形的方法可求得多面體的體積．

（1）取的中點(diǎn)，連接，則平行四邊形即為所求的截面.

理由如下：

因?yàn)?/span>均垂直于平面，

所以，

因?yàn)?/span>，，

所以四邊形為梯形．

又分別為中點(diǎn)，

所以，，

所以，，

所以為平行四邊形，

因?yàn)?/span>，為中點(diǎn)，

所以．

又平面，平面，

所以．

又，

所以平面

又平面，

所以平面平面，

所以平行四邊形即為所作的截面.

（2）法一：過點(diǎn)作于點(diǎn)．

因?yàn)?/span>平面，平面，

所以，

又，平面，

所以平面

在中，，，，

得，

所以，

因?yàn)?/span>，

所以，

，

所以.

法二：將多面體補(bǔ)成直三棱柱，

其中，，，，

則

在中，，，，

得，

所以，

所以，

所以.

法三：在多面體中作直三棱柱，

則，

在中，，，，

得，

所以，

設(shè)邊上的高為，

則，

因?yàn)?/span>平面，平面，

所以，

又，平面，

所以平面．

所以，

，

所以．