Question

17．已知函數(shù)f（x）=$\frac{x}{a}$-sin2x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為11，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A． （$\frac{9π}{4}$，$\frac{13π}{4}$）
• B． （-$\frac{7π}{2}$，-$\frac{5π}{2}$）∪（$\frac{5π}{2}$，$\frac{7π}{2}$）
• C． （-$\frac{13π}{4}$，-$\frac{9π}{4}$）∪（$\frac{9π}{4}$，$\frac{13π}{4}$）
• D． （-$\frac{13π}{4}$，-$\frac{9π}{4}$]∪[$\frac{9π}{4}$，$\frac{13π}{4}$）

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)對(duì)稱性可知y=$\frac{x}{a}$與y=sin2x在（0，+∞）上有5個(gè)交點(diǎn)，利用函數(shù)圖象找出直線斜率的臨界值即可得出a的范圍．

解答 解：∵f（x）=$\frac{x}{a}$-sin2x是奇函數(shù)，f（x）有11個(gè)零點(diǎn)，
∴f（x）在（0，+∞）上有5個(gè)零點(diǎn)．
令f（x）=0得sin2x=$\frac{x}{a}$，則y=$\frac{x}{a}$與y=sin2x的圖象在（0，+∞）上有5個(gè)交點(diǎn)．
作出y=sin2x在y軸右側(cè)的函數(shù)圖象，如圖所示：

當(dāng)k＞0時(shí)，設(shè)y=k₁x經(jīng)過(guò)點(diǎn)（$\frac{9π}{4}$，1），y=k₂x經(jīng)過(guò)點(diǎn)（$\frac{13π}{4}$，1），
則k₁=$\frac{4}{9π}$，k₂=$\frac{4}{13π}$，
∴k₂＜$\frac{1}{a}$＜k₁，解得$\frac{9π}{4}$＜a＜$\frac{13π}{4}$，
當(dāng)k＜0時(shí)，y=kx與y=sin2x在（0，+∞）不可能有5個(gè)交點(diǎn)．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)零點(diǎn)與函數(shù)圖象的關(guān)系，屬于中檔題．