Question

12．如圖，在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，側(cè)棱AA₁=2AB，E是BC中點，F(xiàn)是CD中點，
G是BB₁上一個動點．
（Ⅰ）BG的長為多少時，D₁E⊥平面AFG？說明理由；
（Ⅱ）當D₁E⊥平面AFG時，求二面角G-AF-E的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設正四棱柱底面邊長為2，求出側(cè)棱長，分別以DA、DC、DD₁方向為x、y、z軸，建立空間直角坐標系，求出相關(guān)點的坐標，設G（2，2，m），利用$\overrightarrow{{D_1}E}•\overrightarrow{AG}=0$且$\overrightarrow{{D_1}E}•\overrightarrow{FG}=0$，求出m值，即可得到結(jié)果．
（Ⅱ）求出面AFG的一個法向量，面AFE的一個法向量，利用空間向量的數(shù)量積求解G-AF-E的二面角的余弦值．

解答 解：（Ⅰ）設正四棱柱底面邊長為2，則側(cè)棱長為4…1’
分別以DA、DC、DD₁方向為x、y、z軸
建立空間直角坐標系，則D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），
E（1，2，0），F(xiàn)（0，1，0），D₁（0，0，4），
設G（2，2，m）…3’
則$\overrightarrow{{D_1}E}=（1，2，-4）$，$\overrightarrow{AG}=（0，2，m）$，$\overrightarrow{FG}=（2，1，m）$，
當$\overrightarrow{{D_1}E}⊥\overrightarrow{AG}$且$\overrightarrow{{D_1}E}⊥\overrightarrow{FG}$時，D₁E⊥平面AFG，
此時$\overrightarrow{{D_1}E}•\overrightarrow{AG}=0$且$\overrightarrow{{D_1}E}•\overrightarrow{FG}=0$，
即$\left\{\begin{array}{l}1×0+2×2-4m=0\\ 1×2+2×1-4m=0\end{array}\right.⇒m=1$，
∴BG=1時滿足題意…6’．
（Ⅱ）依題意，$\overrightarrow{{D_1}E}=（1，2，-4）$就是面AFG的一個法向量，…7’
而面AFE的一個法向量是$\overrightarrow{D{D_1}}=（0，0，4）$，…8’
∴$cos＜\overrightarrow{{D_1}E}，\overrightarrow{D{D_1}}＞=\frac{{\overrightarrow{{D_1}E}•\overrightarrow{D{D_1}}}}{{|{\overrightarrow{{D_1}E}}|•|{\overrightarrow{D{D_1}}}|}}=\frac{-16}{{\sqrt{21}•4}}=-\frac{{4\sqrt{21}}}{21}$，…10’
∵G-AF-E是銳二面角，記其大小為θ，則$cosθ=\frac{{4\sqrt{21}}}{21}$…12’．

點評 本題考查空間向量的應用，直線與平面垂直，二面角的求法，數(shù)量積的應用，考查計算能力．