Question

已知數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1，公差為d（d＞0）的等差數(shù)列，若b_n=

1

anan+1

，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n．
（1）若d=1，求S_n；
（2）若對(duì)任意n∈N^*，不等式S_n＞

1

2

均成立，求公差d的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式,數(shù)列的求和

專(zhuān)題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）求出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，代入b_n=

1

anan+1

，然后利用裂項(xiàng)相消法求S_n；
（2）求出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，代入b_n=

1

anan+1

，然后利用裂項(xiàng)相消法求S_n，代入S_n＞

1

2

后分離變量d，則答案可求．

解答： 解：（1）∵a₁=1，d=1，
∴a_n=1+（n-1）=n．
∴bn=

1

anan+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

．
則Sn=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)=1-

1

n+1

=

n

n+1

；
（2）a_n=1+（n-1）d，b_n=

1

anan+1

=

1

[nd+1-d](nd+1)

=

1

d

(

1

nd+1-d

-

1

nd+1

)．
S_n=b₁+b₂+…+b_n=

1

d

[1-

1

1+d

+

1

1+d

-

1

1+2d

+…+

1

nd+1-d

-

1

1+nd

]
=

1

d

(1-

1

1+nd

)=

n

1+nd

．
由若對(duì)任意n∈N^*，不等式S_n＞

1

2

均成立，
則

n

1+nd

＞

1

2

，即d＜

2n-1

n

對(duì)任意n∈N^*均成立，
∵(

2n-1

n

)min=1．
∴d＜1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列遞推式，考查了裂項(xiàng)相消法去數(shù)列的和，訓(xùn)練了數(shù)列不等式的解法，是中檔題．