Question

9．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁、F₂，離心率為$\frac{\sqrt{6}}{3}$，過左焦點F₁作x軸的垂線交橢圓C的上方于點A，且|OA|=$\frac{\sqrt{21}}{3}$，其中，O為坐標原點．
（I）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）求橢圓C上過點A的切線方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由橢圓的離心率為$\frac{\sqrt{6}}{3}$，過左焦點F₁作x軸的垂線交橢圓C的上方于點A，且|OA|=$\frac{\sqrt{21}}{3}$，列出方程組，求出a，b，由此能出橢圓C的方程．
（Ⅱ）求出A（-$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$），對橢圓方程求導得$\frac{2}{3}x+2y{y}^{'}=0$，利用導數(shù)的幾何意義能求出橢圓C上過點A的切線方程．

解答 解：（Ⅰ）∵橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁、F₂，離心率為$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}$，①
∵過左焦點F₁作x軸的垂線交橢圓C的上方于點A，且|OA|=$\frac{\sqrt{21}}{3}$，
∴${c}^{2}+（\frac{^{2}}{a}）^{2}$=$（\frac{\sqrt{21}}{3}）^{2}$，②
又a²=b²+c²，③
聯(lián)立①②③，解得：a=$\sqrt{3}$，b=1，c=$\sqrt{2}$，
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}$=1．
（Ⅱ）A（-$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$），$\frac{2}{3}x+2y{y}^{'}=0$，
把A（-$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）代入，得：y′=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$，
∴橢圓C上過點A的切線方程為：
y-$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$（x+$\sqrt{2}$），即$\sqrt{2}x-\sqrt{3}y$+3=0．

點評 本題考查橢圓方程的求法，考查橢圓上過點A的切線方程的求法，考查橢圓、直線方程、導數(shù)的幾何意義等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方思想，是中檔題．