Question

10．直線l₁，l₂分別是函數(shù)f（x）=sinx，x∈[0，π]圖象上點P₁，P₂處的切線，l₁，l₂垂直相交于點P，且l₁，l₂分別與y軸相交于點A，B，則△PAB的面積為$\frac{{π}^{2}}{4}$．

Answer 1

分析 求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，設(shè)P₁（x₁，sinx₁），P₂（x₂，sinx₂），（設(shè)x₁＜x₂），可得切線的斜率，運用兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，由余弦函數(shù)的值域，求得兩切點，可得切線的方程，求出A，B，P的坐標(biāo)，即可得到所求三角形的面積．

解答 解：函數(shù)f（x）=sinx的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=cosx，
設(shè)P₁（x₁，sinx₁），P₂（x₂，sinx₂），（設(shè)x₁＜x₂），
可得圖象上點P₁，P₂處的切線斜率為cosx₁，cosx₂，
由l₁，l₂垂直，可得cosx₁cosx₂=-1，
由余弦函數(shù)的值域，可得cosx₁=1，cosx₂=-1，
即有x₁=0，x₂=π，
可得切線l₁的方程為y=x，
l₂的方程為y-0=-（x-π），即y=-x+π，
解得P（$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），
由A（0，0），B（0，π），
可得△PAB的面積為$\frac{1}{2}$×π×$\frac{π}{2}$=$\frac{{π}^{2}}{4}$．
故答案為：$\frac{{π}^{2}}{4}$．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線的方程，考查兩直線垂直的條件和余弦函數(shù)的值域，考查三角形的面積的求法，以及運算能力，屬于中檔題．