Question

20．若圓x²+y²-2x-4ay+1=0截直線l：x-y-1=0所得弦長為2$\sqrt{2}$，則圓的面積為（　�。�

• A． 2π
• B． 4π
• C． 6π
• D． 8π

Answer 1

分析 求出圓心C（1，2a），半徑r=|2a|，由圓x²+y²-2x-4ay+1=0截直線l：x-y-1=0所得弦長為2$\sqrt{2}$，得到圓心C（1，2a）到直線l的距離d=$\frac{|1-2a-1|}{\sqrt{1+1}}$=$\sqrt{4{a}^{2}-（\sqrt{2}）^{2}}$，求出|a|=1，從而r=|2a|=2．由此能求出圓的面積．

解答 解：圓x²+y²-2x-4ay+1=0的圓心C（1，2a），半徑r=$\frac{1}{2}\sqrt{4+16{a}^{2}-4}$=|2a|，
∵圓x²+y²-2x-4ay+1=0截直線l：x-y-1=0所得弦長為2$\sqrt{2}$，
∴圓心C（1，2a）到直線l的距離：
d=$\frac{|1-2a-1|}{\sqrt{1+1}}$=$\sqrt{4{a}^{2}-（\sqrt{2}）^{2}}$，
解得|a|=1，∴r=|2a|=2．
∴圓的面積為S=πr²=4π．
故選：B．

點評 本題考查圓的面積的求法，考查圓、直線方程、點到直線距離公式等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．