Question

【題目】已知函數(shù)．

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；

（Ⅱ）時(shí)，討論的單調(diào)性；

（Ⅲ）若對(duì)任意的恒有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）函數(shù)的極小值為，無極大值；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的在定義域單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間，上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間，上單調(diào)遞減，在區(qū)間，上單調(diào)遞增．

（Ⅲ）．

【解析】

試題（1）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>， 當(dāng)時(shí)，函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性，即可求出函數(shù)的極值；

（2）由，所以，

令，得，，對(duì)、、分類討論，求出的單調(diào)性；

（3）若對(duì)任意的恒有成立，等價(jià)于當(dāng)，對(duì)任意的，恒有成立，由（Ⅱ）知，，所以上式化為對(duì)任意的，恒有成立，即，因?yàn)?/span>，所以，所以．

試題解析：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>．，令，

得；（舍去）．

當(dāng)變化時(shí)，的取值情況如下：

	—	0
	減	極小值	增

所以，函數(shù)的極小值為，無極大值．

（2），令，得，，

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的在定義域單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，在區(qū)間，，上，單調(diào)遞減，

在區(qū)間，上，單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，在區(qū)間，，上，單調(diào)遞減，

在區(qū)間，上，單調(diào)遞增．

（3）由（2）知當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減；所以，當(dāng)時(shí)，，

問題等價(jià)于：對(duì)任意的，恒有成立，即，因?yàn)?/span>a<0，，所以，實(shí)數(shù)的取值范圍是．