分析 (1)令n=2、1依次代入遞推公式列出方程,求出a2、a1的值;
(2)根據(jù)條件分兩種情況:當(dāng)p=0,q≠0時由數(shù)列的遞推公式對n分奇數(shù)和偶數(shù)求出Sn;當(dāng)p≠0,q=0時由數(shù)列的遞推公式可知是等比數(shù)列,根據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求出Sn;
(3)由題意求出數(shù)列的遞推公式,由p的范圍先比較a1與a2,令n取n-1列出式子后,兩式相減化簡后利用基本不等式求出an的范圍,根據(jù)p的范圍判斷出“an+1-an”的符號,即可證明結(jié)論.
解答 解:(1)由題意知,an+1=p•an+qan,∴a3=p•a2+qa2,
∵p=12,q=2,且a3=4120,∴4120=12(a2+4a2),解得a2=52或a2=85,…2分
當(dāng)a2=52時,同理求得a1=1或4;當(dāng)a2=85時,無解,
所以,a1=1或4 …4分
(2)若p=0,q≠0,an+1=qan,∴a1=5,a2=q5,a3=5,a4=q5,…5分
所以當(dāng)n為奇數(shù)時,Sn=5•n−12+q5•n+12=25n+qn+q−2510;…6分
當(dāng)n為偶數(shù)時,Sn=5•n2+q5•n2=25n+qn10,
所以Sn={25n+qn+q−2510,n為奇數(shù)25n+qn10,n為偶數(shù)…7分
若p≠0,q=0時,an+1=p•an,…8分
所以Sn={5(pn−1)p−1p≠0,p≠15np=1…10分
證明:(3)由題意知,{a1=1an+1=p•an+1an
當(dāng)p<34時,可得a2=2p+12<2=a1 ①…12分
由an+1=p•an+1an和an=p•an−1+1an−1,(n≥2),
兩式相減得,an+1−an=(an−an−1)(p−1anan−1) …14分
因?yàn)?{a_n}=p•{a_{n-1}}+\frac{1}{{{a_{n-1}}}}≥2\sqrt{p}$成立,則有an•an-1>4p
當(dāng)p>12時,an•an−1>4p>1p,即p>1anan−1 ②…16分
由①②可知,當(dāng)an<an-1時,恒有an+1<an…17分
對于任意的自然數(shù)n,an+1<an恒成立. …18分.
點(diǎn)評 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系,等比數(shù)列的定義、前n項(xiàng)和公式,作差法判斷數(shù)列的單調(diào)性,以及基本不等式式的應(yīng)用,考查了分類討論方法、推理能力與化簡、變形能力,屬于難題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
x | 3 | 4 | 5 | 6 |
y | 2.5 | t | 4 | 4.5 |
A. | 線性回歸直線一定過點(diǎn)(4.5,3.5) | |
B. | 產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗與產(chǎn)量呈正相關(guān) | |
C. | t的取值必定是3.15 | |
D. | A產(chǎn)品每多生產(chǎn)1噸,則相應(yīng)的生產(chǎn)能耗約增加0.7噸 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | \frac{3}{7} | B. | \frac{4}{7} | C. | \frac{5}{7} | D. | \frac{6}{7} |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | \frac{1}{a}>\frac{1} | B. | a2<b2 | C. | a3<b3 | D. | ac<bc |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | \frac{1}{6} | B. | -\frac{1}{6} | C. | 6 | D. | -6 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
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