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12.已知無窮數(shù)列{an}滿足an+1=p•an+qan(n∈N*).其中p,q均為非負(fù)實(shí)數(shù)且不同時為0.
(1)若p=12,q=2,且a3=4120,求a1的值;
(2)若a1=5,p•q=0,求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn
(3)若a1=2,q=1,求證:當(dāng)p∈(12$$34)時,數(shù)列{an}是單調(diào)遞減數(shù)列.

分析 (1)令n=2、1依次代入遞推公式列出方程,求出a2、a1的值;
(2)根據(jù)條件分兩種情況:當(dāng)p=0,q≠0時由數(shù)列的遞推公式對n分奇數(shù)和偶數(shù)求出Sn;當(dāng)p≠0,q=0時由數(shù)列的遞推公式可知是等比數(shù)列,根據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求出Sn
(3)由題意求出數(shù)列的遞推公式,由p的范圍先比較a1與a2,令n取n-1列出式子后,兩式相減化簡后利用基本不等式求出an的范圍,根據(jù)p的范圍判斷出“an+1-an”的符號,即可證明結(jié)論.

解答 解:(1)由題意知,an+1=p•an+qan,∴a3=p•a2+qa2
∵p=12,q=2,且a3=4120,∴4120=12a2+4a2,解得a2=52a2=85,…2分
當(dāng)a2=52時,同理求得a1=1或4;當(dāng)a2=85時,無解,
所以,a1=1或4       …4分
(2)若p=0,q≠0,an+1=qan,∴a1=5a2=q5a3=5a4=q5,…5分
所以當(dāng)n為奇數(shù)時,Sn=5n12+q5n+12=25n+qn+q2510;…6分
當(dāng)n為偶數(shù)時,Sn=5n2+q5n2=25n+qn10,
所以Sn={25n+qn+q2510n(shù)25n+qn10n(shù)…7分
若p≠0,q=0時,an+1=p•an,…8分
所以Sn={5pn1p1p0p15np=1…10分
證明:(3)由題意知,{a1=1an+1=pan+1an
當(dāng)p34時,可得a2=2p+122=a1       ①…12分
an+1=pan+1anan=pan1+1an1n2,
兩式相減得,an+1an=anan1p1anan1    …14分
因?yàn)?{a_n}=p•{a_{n-1}}+\frac{1}{{{a_{n-1}}}}≥2\sqrt{p}$成立,則有an•an-1>4p
當(dāng)p12時,anan14p1p,即p1anan1   ②…16分
由①②可知,當(dāng)an<an-1時,恒有an+1<an…17分
對于任意的自然數(shù)n,an+1<an恒成立.  …18分.

點(diǎn)評 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系,等比數(shù)列的定義、前n項(xiàng)和公式,作差法判斷數(shù)列的單調(diào)性,以及基本不等式式的應(yīng)用,考查了分類討論方法、推理能力與化簡、變形能力,屬于難題.

練習(xí)冊系列答案
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 x 3 4 6
 y 2.5 44.5 
A.線性回歸直線一定過點(diǎn)(4.5,3.5)
B.產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗與產(chǎn)量呈正相關(guān)
C.t的取值必定是3.15
D.A產(chǎn)品每多生產(chǎn)1噸,則相應(yīng)的生產(chǎn)能耗約增加0.7噸

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A.\frac{3}{7}B.\frac{4}{7}C.\frac{5}{7}D.\frac{6}{7}

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