分析 利用正弦定理化簡條件式可得cosA=√22,由向量線性運算的幾何意義可得|→AB+→AC|=2,兩邊平方得出b,c間的關(guān)系,使用基本不等式解出bc的范圍,于是a=|→AB−→AC|,兩邊平方即可求出a2的最小值.
解答 解:在△ABC中,∵b(tanA+tanB)=√2ctanB,∴b(sinAcosA+sinBcosB)=√2csinBcosB,
∴bsinC=√2csinBcosA,
∴bc=√2bccosA,∴cosA=√22.
∵BC邊的中線長為1,∴|→AB+→AC|=2,
∴c2+b2+2bccosA=4,即b2+c2=4-√2bc≥2bc,解得bc≤4-2√2.
∴a2=(→AB−→AC)2=b2+c2-2bccosA=4-2√2bc≥4-2√2(4-2√2)=12-8√2.
∴a的最小值為√12−8√2=2√2-2.
故答案為:2√2−2.
點評 本題考查了正弦定理,向量在幾何中的應(yīng)用,基本不等式的應(yīng)用,屬于中檔題.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | 1 | B. | 2 | C. | 3 | D. | 4 |
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