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12.在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若b(tanA+tanB)=2ctanB,BC邊的中線長為1,則a的最小值為22-2.

分析 利用正弦定理化簡條件式可得cosA=22,由向量線性運算的幾何意義可得|AB+AC|=2,兩邊平方得出b,c間的關(guān)系,使用基本不等式解出bc的范圍,于是a=|ABAC|,兩邊平方即可求出a2的最小值.

解答 解:在△ABC中,∵b(tanA+tanB)=2ctanB,∴b(sinAcosA+sinBcosB)=2csinBcosB
∴bsinC=2csinBcosA,
∴bc=2bccosA,∴cosA=22
∵BC邊的中線長為1,∴|AB+AC|=2,
∴c2+b2+2bccosA=4,即b2+c2=4-2bc≥2bc,解得bc≤4-22
∴a2=(ABAC2=b2+c2-2bccosA=4-22bc≥4-22(4-22)=12-82
∴a的最小值為1282=22-2.
故答案為:222

點評 本題考查了正弦定理,向量在幾何中的應(yīng)用,基本不等式的應(yīng)用,屬于中檔題.

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