Question

16．在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別是棱BC，CC₁上的點，CF=AB=2CE，AB：AD：AA₁=1：2：4，二面角A₁-ED-F的正弦值$\frac{\sqrt{5}}{3}$．

Answer 1

分析 建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角A₁-ED-F的正弦值．

解答 解：如圖所示，建立空間直角坐標系，點A為坐標原點，
設AB=1，依題意得D（0，2，0），F(xiàn)（1，2，1），A₁（0，0，4），E（1，$\frac{3}{2}$，0）．
$\overrightarrow{EF}$=（0，$\frac{1}{2}$，1），$\overrightarrow{E{A}_{1}}$=（-1，-$\frac{3}{2}$，4），$\overrightarrow{ED}$=（-1，$\frac{1}{2}$，0），
設平面EFD的一個法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EF}=\frac{1}{2}y+z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{ED}=-x+\frac{1}{2}y=0}\end{array}\right.$，令x=1，可得$\overrightarrow{n}$=（1，2，-1）．
設平面A₁ED的一個法向量為$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{E{A}_{1}}=-a-\frac{3}{2}b+4c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{ED}=-a+\frac{1}{2}b=0}\end{array}\right.$，取a=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，2，1），
設二面角A₁-ED-F的平面角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{4}{\sqrt{6}•\sqrt{6}}$=$\frac{2}{3}$，
∴sinθ=$\sqrt{1-（\frac{2}{3}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$．
∴二面角A₁-ED-F的正弦值是$\frac{\sqrt{5}}{3}$．

點評 本題考查二面角的正弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．