Question

15．某地政府為了對房地產(chǎn)市場進(jìn)行調(diào)控決策，統(tǒng)計(jì)部門對外來人口和當(dāng)?shù)厝丝谶M(jìn)行了買房的心理預(yù)期調(diào)研，用簡單隨機(jī)抽樣的方法抽取了110人進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如下列聯(lián)表（不全）：

	買房	不買房	猶豫	總計(jì)
外來人口（單位：人）	5	10	15	30
當(dāng)?shù)厝丝冢▎挝唬喝耍?/TD>	20	10	50	80
總計(jì)	25	20	65	110

已知樣本中外來人口數(shù)與當(dāng)?shù)厝丝跀?shù)之比為3：8．
（1）補(bǔ)全上述列聯(lián)表；
（2）從參與調(diào)研的外來人口中用分層抽樣方法抽取6人，進(jìn)一步統(tǒng)計(jì)外來人口的某項(xiàng)收入指標(biāo)，若一個(gè)買房人的指標(biāo)記為3，一個(gè)猶豫人的指標(biāo)記為2，一個(gè)不買房人的指標(biāo)記為1，現(xiàn)在從這6人中再隨機(jī)選取3人，用X表示這3人指標(biāo)之和，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）列方程組求出外來人口和當(dāng)?shù)厝丝谥歇q豫的人數(shù)，填寫列聯(lián)表；
（2）由題意知隨機(jī)變量X的所有可能取值，計(jì)算對應(yīng)的概率，寫出分布列，計(jì)算數(shù)學(xué)期望值．

解答 解：（1）設(shè)外來人口中和當(dāng)?shù)厝丝谥械莫q豫人數(shù)分別為x人，y人，
則$\left\{\begin{array}{l}\frac{15+x}{30+y}=\frac{3}{8}\\（15+x）+（30+y）=110，\;\;\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}x=15，\;\;\\ y=50.\end{array}\right.$
填寫列聯(lián)表如下；

	買房	不買房	猶豫	總計(jì)
外來人口（單位：人）	5	10	15	30
當(dāng)?shù)厝丝冢▎挝唬喝耍?/TD>	20	10	50	80
總計(jì)	25	20	65	110

（2）從參與調(diào)研的外來人口中用分層抽樣方法抽取的6人中，買房1人，不買房2人，猶豫3人，
所以X的所有可能取值為7，6，5，4；
計(jì)算$P（X=7）=\frac{C_1^1C_3^2}{C_6^3}=\frac{3}{20}$，
$P（X=6）=\frac{C_1^1C_2^1C_3^1+C_3^3}{C_6^3}=\frac{7}{20}$，
$P（X=5）=\frac{C_1^1C_2^2+C_3^2C_2^1}{C_6^3}=\frac{7}{20}$，
$P（X=4）=\frac{C_3^1C_2^2}{C_6^3}=\frac{3}{20}$，
所以X的分布列為

X	7	6	5	4
P	$\frac{3}{20}$	$\frac{7}{20}$	$\frac{7}{20}$	$\frac{3}{20}$

數(shù)學(xué)期望是$E（X）=7×\frac{3}{20}+6×\frac{7}{20}+5×\frac{7}{20}+4×\frac{3}{20}=\frac{11}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望的應(yīng)用問題，也考查了列聯(lián)表的應(yīng)用問題，是中檔題．