Question

【題目】如圖，橢圓C：（），，分別是橢圓C的左，右焦點，點D在橢圓上，且，，的面積為.

（1）求橢圓C的方程；

（2）過的直線l與橢圓C交于M，N兩點，在x軸上是否存在點A，使為常數(shù)？若存在，求出點A的坐標和這個常數(shù)；若不存在，請說明理由

Answer 1

【答案】（1）（2），常數(shù)為.

【解析】

（1）根據(jù)線段比例關(guān)系及面積，集合橢圓中關(guān)系，可得方程組，解方程即可求得橢圓的標準方程.

（2）假設存在點滿足為常數(shù).當斜率存在時，設出直線方程，并聯(lián)立橢圓方程，由韋達定理表示出，進而表示出.根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標運算，結(jié)合系數(shù)比相同時為常數(shù)，即可求得的值，進而確定的值；當斜率不存在時，易得兩個交點坐標，即可確定取的值時的值是否與斜率存在時的一致.

（1）橢圓C：（），，分別是橢圓C的左，右焦點，點在橢圓上，且，.

則點的坐標為，（）.代入橢圓方程可得，

解得.

又因為，的面積為.

所以 ，解得

所以橢圓的標準方程為.

（2）假設在軸上存在點A，使為常數(shù)，設.

當直線的斜率存在時，直線過，設..

則，化簡可得，

所以.

所以，

則

，

因為為常數(shù)，

所以，解得，

此時

當直線的斜率不存在時，直線與橢圓的兩個交點坐標分別為.

則

所以

當時，.

綜上可知，在軸上存在點，使得為常數(shù)，該常數(shù)為.