Question

【題目】已知函數(shù)

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的最大值

（3）當(dāng)時(shí)，又設(shè)函數(shù)，求證：當(dāng)，且時(shí)，

Answer 1

【答案】(1) 單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，。(2) .(3)證明見解析

【解析】

（1）當(dāng)時(shí)，求得導(dǎo)數(shù)則，進(jìn)而可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）求得導(dǎo)數(shù)，令，利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為，再令，求得的單調(diào)性與最值，即可求解.

（3）把當(dāng)，且時(shí)，，轉(zhuǎn)化為證明不等式，設(shè)，，令利用求得函數(shù)的單調(diào)性，得到，即可作出證明.

（1）由題意，當(dāng)時(shí)，函數(shù)，

則，

令，得，，

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；

當(dāng)和時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；

所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，.

（2）由函數(shù)

則，

令得，，

令，則，所以在上遞增，

所以，從而，所以，

所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；

所以，

令，則，

令，則，所以在上遞減，

而，

所以存在使得，且當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

又因?yàn)?/span>，，

所以在上恒成立，則，.

綜上所述，函數(shù)在上最大值.

（3）當(dāng)時(shí)，，

因?yàn)?/span>，所以，

若證當(dāng)，且時(shí)，.

即證

，

即證，即證，

設(shè)，，令

則，因?yàn)?/span>恒成立，故，

即，即.