Question

2．在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=6，AB=3，AD=8，點(diǎn)M是棱AD的中點(diǎn)，N在棱AA₁上，且滿足AN=2NA₁，P是側(cè)面四邊形ADD₁A₁內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)（含邊界），若C₁P∥平面CMN，則線段C₁P長度最小值是（　�。�

• A． $\sqrt{17}$
• B． 4
• C． $\sqrt{15}$
• D． 3

Answer 1

分析 取A₁D₁中點(diǎn)E，在DD₁上取點(diǎn)F，使D₁F=2DF，連結(jié)EF、C₁E、C₁F，則平面CMN∥平面C₁EF，由此推導(dǎo)出P∈線段EF，當(dāng)P與EF的中點(diǎn)O重合時(shí)，線段C₁P長度取最小值PO，當(dāng)P與點(diǎn)E或點(diǎn)F重合時(shí)，線段C₁P長度取最大值PE或PF，由此能求出線段C₁P的最小值．

解答 解：取A₁D₁中點(diǎn)E，在DD₁上取點(diǎn)F，使D₁F=2DF，連結(jié)EF、C₁E、C₁F，
則平面CMN∥平面C₁EF，
∵是側(cè)面四邊形ADD₁A₁內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)（含邊界），C₁P∥平面CMN，
∴P∈線段EF，
∴當(dāng)P與EF的中點(diǎn)O重合時(shí)，線段C₁P長度取最小值PO，
當(dāng)P與點(diǎn)E或點(diǎn)F重合時(shí)，線段C₁P長度取最大值PE或PF，
∵在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=6，AB=3，AD=8，
點(diǎn)M是棱AD的中點(diǎn)，點(diǎn)N在棱AA₁上，且滿足AN=2NA₁，
∴C₁P_max=C₁E=C₁F=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，EF=4$\sqrt{2}$，
C₁P_min=PO=$\sqrt{{C}_{1}{E}^{2}-E{O}^{2}}$=$\sqrt{25-（2\sqrt{2}）^{2}}=\sqrt{17}$．
∴線段C₁P長度的最小值為$\sqrt{17}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線段的最小值的求法，突出對(duì)運(yùn)算能力、化歸轉(zhuǎn)化能力、空間想象的考查，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．