17.在平面直角坐標系xOy中,已知$\overrightarrow{OA}$=(1,0),$\overrightarrow{OB}$=(0,b),b∈R.若$\overrightarrow{OC}$=2$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$,點M滿足$\overrightarrow{OM}$=λ$\overrightarrow{OC}$,(λ∈R),且|$\overrightarrow{OC}$|•|$\overrightarrow{OM}$|=36,則$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{OA}$的最大值為18.

分析 由已知求出$\overrightarrow{OC}、\overrightarrow{OM}$的坐標,結(jié)合|$\overrightarrow{OC}$|•|$\overrightarrow{OM}$|=36可得λ與b的關(guān)系,把$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{OA}$化為關(guān)于b的函數(shù)得答案.

解答 解:∵$\overrightarrow{OA}$=(1,0),$\overrightarrow{OB}$=(0,b),
∴$\overrightarrow{OC}$=2$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=(2,b),則$\overrightarrow{OM}$=λ$\overrightarrow{OC}$=(2λ,bλ),
由|$\overrightarrow{OC}$|•|$\overrightarrow{OM}$|=36,得$\sqrt{4+^{2}}•\sqrt{4{λ}^{2}+^{2}{λ}^{2}}=36$.
∴|λ|(4+b2)=36.
$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{OA}$=(2λ,bλ)•(1,0)=2λ≤2|λ|=$\frac{72}{4+^{2}}$.
∵b∈R,∴$(\frac{72}{4+^{2}})_{max}=18$.
∴$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{OA}$的最大值為18.
故答案為:18.

點評 本題考查平面向量的數(shù)量積運算,考查函數(shù)值域的求法,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法,是中檔題.

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