Question

已知四棱錐中，平面，底面是邊長為的菱形，，．

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）設與交于點，為中點，若二面角的正切值為，求的值．

Answer 1

（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）要證平面平面，只要證明BD⊥平面PAC 即可.

（Ⅱ）思路一：過O作OH⊥PM交PM于H，連HD，首先證明∠OHD為O-PM-D的平面角，用 表示即可.

思路二：如圖,以為原點,所在直線為軸,軸建立空間直角坐標系，

試題解析：（Ⅰ）因為PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD 2分

又ABCD為菱形，所以AC⊥BD,所以BD⊥平面PAC 4分

從而平面PBD⊥平面PAC． 6分

（Ⅱ）方法1． 過O作OH⊥PM交PM于H，連HD

因為DO⊥平面PAC，可以推出DH⊥PM,所以∠OHD為O-PM-D的平面角 8分

又，且 10分

從而 11分

所以，即． 12分

法二：如圖,以為原點,所在直線為軸,軸建立空間直角坐標系，然后利用空間向量的數量積求出平面PMD的法向量 ，由向量與向量的夾角列方程求出的值.

,, 8分

從而 9分

因為BD⊥平面PAC,所以平面PMO的一個法向量為． 10分

設平面PMD的法向量為,由得

取，即 11分

設與的夾角為，則二面角大小與相等

從而，得

從而，即． 12分

考點：查空間直線與平面的位置關系、空間向量在立體幾何中的應用.